§ 15. Другая формулировка свойств инвариантности: преобразование состояний
В предыдущих параграфах мы рассматривали преобразование как операцию, которая выполняется над системой координат, оставляя физическую систему неизменной. Можно изменить точку зрения и преобразовать физическую систему, оставляя неизменной систему координат. Именно так мы поступали в третьей части (см., в частности, замечания § XIII. 11). Хотя вытекающие результаты формулируются различным образом, обе точки зрения эквивалентны.
Рис. 21. Два сцособа рассмотрения преобразования Лоренца: изменение системы отсчета 
и преобразование системы 
Поясним указанную эквивалентность.
Пусть 
— состояние физической системы, которое в системе координат 
задается спинором 
Пусть 
есть состояние, которое получается из 
при преобразовании 
а 
есть система координат, которая переходит в 
при том же преобразовании (см. рис. 21)
Рассмотрим три следующих спинора:
Ясно, что 
равны при совпадающих значениях аргументов
Соответствие между 
было установлено в § 11. Поскольку преобразование S переводит систему 
в 
то, используя (85) и вводя связанную с 
матрицу 
, имеем
Следовательно,
Сравнивая с уравнением (85), видим, что в преобразовании состояний участвует оператор, обратный к оператору, отвечающему изменению системы координат.
Эти замечания относятся также и к электромагнитному полю, в котором движется дираковская частица. Обозначим поле 
и пусть 
—поле, которое получается при преобразовании 
Рассмотрим следующие три (ковариантные) 4-вектора:
Мы можем повторить приведенные выше рассуждения для спиноров, тогда получим
Согласно уравнению (81) имеем
следовательно,
Допустим теперь, что 
удовлетворяет уравнению Дирака с потенциалом 
Принимая во внимание равенства (103) и (105), из инвариантности уравнения Дирака при изменении системы координат 
получаем
Таким образом, свойство инвариантности формы уравнения можно сформулировать так:
Если 
удовлетворяет уравнению Дирака с потенциалом 
то состояние (x), которое получается при преобразовании 
также удовлетворяет уравнению Дирака с преобразованным потенциалом 
.
