Раздел I. ВОЗМУЩЕНИЕ НЕВЫРОЖДЕННОГО УРОВНЯ

§ 2. Разложение по степеням возмущения

Предположим, что гамильтониан Н можно записать в виде суммы «невозмущенного гамильтониана» и возмущения, которое принято записывать в форме I.V, где X — вещественный параметр, так же как и Н не зависящий от времени эрмитов оператор

Предположим, что проблема собственных значений для оператора решена и

последовательность его собственных значений, соответствующий набор собственных векторов; квантовое число а различает собственные векторы, отвечающие вырожденному собственному значению:

Спектр Н непрерывно меняется с изменением X и совпадает со спектром Но при Рассмотрим данное собственное

значение оператора . Мы хотим вычислить собственное значение (или значения) Н, которое стремится к когда и определить соответствующие собственные состояния оператора Н. Для упрощения записи будем считать, что спектр чисто дискретный; в действительности нижеследующие рассуждения остаются справедливыми и в том случае, если часть спектра непрерывна, лишь бы принадлежало дискретному спектру.

Если собственное значение не вырождено, то метод вычисления особенно прост. В настоящем разделе мы будем рассматривать именно этот случай. Пусть Е — невырожденное собственное значение Я, которое стремится к когда Соответствующий ему собственный вектор определен с точностью до константы, которую можно фиксировать произвольным условием. Мы примем следующее определение

где использовано обозначение . Согласно этому определению стремится к когда

Если возмущение XV достаточно мало, то разумно предположить, что можно разложить в быстро сходящиеся степенные ряды по X, т. е. можно записать:

Сохраняя только первые члены этих рядов, получаем приближенные выражения для Е и приближение будет тем лучше, чем быстрее сходится ряд.

Метод теории возмущений заключается в определении коэффициентов разложений (5) и (6). Для этого мы подставим выражения (1), (5) и (6) в обе части уравнения (3), которое тем самым превращается в равенство между двумя степенными рядами по X. Для того чтобы это равенство выполнялось, необходимо, чтобы коэффициенты при каждой степени были по отдельности равны. В результате получаем уравнения

Переписав тем же способом условие (4), получаем

Уравнение (7°) определяет собственное значение и собственный вектор в нулевом порядке. Вместе с условиями (8) уравнение (71) определяет поправки первого порядка к этим величинам, уравнение (72) — поправки второго порядка, уравнение — поправки порядка.

Покажем, что действительно уравнение определяет в терминах поправок низшего порядка. Для этого спроектируем уравнение на базисные векторы Проектируя на и используя (8), получаем

Проектируя на другие базисные векторы получаем соответствующие компоненты вектора вдоль этих векторов

Поскольку то вектор полностью определен. Удобно обозначить

и

Используя эти обозначения, можно записать

Уравнения (9) и (11) эквивалентны уравнению что и завершает доказательство.