§ 5. Собственные векторы операторов. Построение инвариантных пространств

Взяв вектор с определенным моментом импульса, можно построить все собственных векторов операторов Р и последовательным применением операторов и Вообще говоря, эти векторы не нормированы на единицу, однако легко построить нормированные векторы, поступая следующим

Допустим, что норма равна единице. Тогда, если то вектор равен нулю; если то -вектор с моментом импульса . Обозначим нормированный вектор, определяемый равенством

Из приведенного выше выражения для нормы следует, что

Фиксируем фазу вектора так, чтобы было вещественным и положительным числом. Тогда

Действуя на обе части оператором и используя получаем

С вектором можно поступить точно так же. Достаточно заменить всюду на Если то Если то мы получим вектор с моментом импульса и единичной нормой, фаза которого фиксирована тем же способом. Этот процесс может быть продолжен до тех пор, пока не получим вектор

Таким же образом, применяя последовательно оператор вектору строим нормированные векторы с моментами импульса соответственно.

Итак, исходя из мы построили ортонормированных векторов

которые удовлетворяют уравнениям на собственные значения

и фазы которых выбраны так, что эти векторы получаются один из другого посредством соотношений

В частности,

Построенные векторов образуют базис некоторого подпространства Операторы преобразуют эти векторы в себя и, следовательно, любой вектор пространства — в вектор из Другими словами, эти операторы оставляют инвариантным. Произвольная функция операторов также оставляет инвариантным. В разделе III мы увидим, что вращению квантовой системы как целого соответствует применение к вектору состояния оператора типа следовательно, любые вращения всей системы оставляет инвариантным.