§ 20. Борновское приближение и его обобщения
Подставляя в правую часть равенства (121) вместо 
плоскую волну 
получаем амплитуду перехода 
в борновском приближении (см. ур. (23))
То же приближение получается после подстановки в правую часть (122) плоской волны 
вместо 
Действительно, если мы заменим 
на 
то из соотношения (120) получим
Можно также записать
Переход от (121) к (123) оправдан, если 
мало отличается от 
в области, где отличен от нуля потенциал 
Точно так же для перехода от (122) к (124) достаточно, чтобы 
мало отличалось от 
в области, где сосредоточен потенциал 
Эти два условия эквивалентны, хотя на первый взгляд кажутся различными. Оба условия предполагают, что 
можно заменить плоскими волнами 
соответственно.
Более точные выражения получатся, если вместо плоских волн использовать волновые функции, которые лучше аппроксимируют стационарные решения 
и
Допустим, например, что 
можно представить в виде
и что известны стационарные решения для гамильтониана 
отвечающие энергии Е. Обозначим эти решения X, а соответствующую матрицу перехода — 
. В частности, будет обозначать решение с расходящимися волнами, отвечающее
начальным условиям а, и мы имеем
Если 
достаточно мало, то 
будет мало отличаться от Точно так же предположим, что можно представить в виде
и известны стационарные решения для гамильтониана 
отвечающие энергии Е. Будем обозначать эти решения В, а соответствующую матрицу перехода — 
. В частности, 
будет решение со сходящимися волнами, отвечающее начальным условиям 
и мы имеем
Если 
достаточно мало, то 
будет мало отличаться от 
. В силу соотношения (120) имеем
Эти два выражения для 
являются точными. Заменяя в первом из них 
на 
или 
на 
— во втором, получаем приближенные выражения
Хотя формально эти выражения различны при 
они всегда равны друг другу, что легко увидеть, если воспользоваться соотношением (120) с 
вместо Я и 
вместо 
.
Данные формулы представляют собой обобщение борновского приближения (см. 
Они точнее тех, которые получаются, после простой замены 
в выражении (121) на 
. Действительно, поскольку справедливо равенство 
последнее приближение сводится к замене в выражении (127) на 
а не на 
. По этим же причинам формулы (129) и (130) точнее тех, которые получаются после замены на 
в правой части равенства (122).
