Раздел IV. ВЫЧИСЛЕНИЕ АМПЛИТУД ПЕРЕХОДА ВАРИАЦИОННЫМ МЕТОДОМ

§ 27. Стационарные выражения сдвигов фаз. Обсуждение

Вариационный метод уже использовался для определение уровней энергии (гл. XVIII). В настоящем разделе мы кратко рассмотрим его применение для вычисления сдвигов фаз и, в более общем случае, амплитуд перехода. Для этого надлежит выразить амплитуды как функционалы от волновых функций задачи рассеяния, которые стационарны по отношению к вариациям

функций в окрестности их точного значения. Интегральные выражения для амплитуд перехода, полученные в предыдущем разделе, для этой цели не годятся, поскольку они не стационарны. Например, выражение (54) для рассматриваемое как функционал от не является стационарным, когда точное решение радиального уравнения; аналогично выражение (127) для рассматриваемое как функционал от не является стационарным, когда меняется в окрестности своего точного значения. Было предложено несколько стационарных выражений для амплитуд перехода. Мы приведем здесь выражение, полученное Швингером, которое оказалось наиболее удобным.

В этом параграфе мы рассмотрим случай частицы в центральном потенциале и получим стационарное выражение для коэффициента разложения амплитуды перехода по сферическим функциям (разложение (51)). За исключением нескольких изменений, отмеченных ниже, мы следуем обозначениям § 9.

Если — полная стационарная рассеянная волна, то парциальная волна удовлетворяет интегральному уравнению (56). Имея в виду дальнейшее обобщение, перепишем последнее в виде

где - интегральный оператор, ядром которого является функция Грина

другими словами

Будем также использовать обозначение для скалярного произведения двух радиальных функций

Тогда интегральную форму для можно переписать в виде

Введем обозначения

и рассмотрим функционал

зависящий от функции Область изменения ограничена только условием локальной интегрируемости функции Как очевидное следствие соотношений (167) и (169) имеем

Отметим также, что функционал не зависит ни от нормировки функции (он не меняется при умножении на произвольную постоянную), ни от значений, которые принимает в области, где Следовательно, принимает то же самое значение для любых функций которые удовлетворяют менее жесткому условию, чем уравнение (167).

(С — произвольная постоянная).

Вычислим вариацию как функцию от Согласно определению (172)

Вариация равна

и принимая во внимание, что V вещественно, симметрично по для вариации . В получаем

Следовательно, мы можем записать

где

Для того чтобы при любых необходимо и достаточно, чтобы Для этого необходимо, чтобы были пропорциональны друг другу в области, где отлично от нуля, т. е. чтобы была одной из функций, удовлетворяющих уравнению (167а). Легко показать, что это является также и достаточным условием. Итак, стационарное значение равно искомой амплитуде

Чтобы в вычислениях участвовали только вещественные функции, мы выделили вещественную и мнимую части . Вещественная часть будет функцией Грина

и мы получим

Подставляя это выражение в определение (т. е. в выражение (171) для мы можем переписать (171) в эквивалентной форме

и так как из уравнения (52) имеем

то получаем следующее стационарное выражение для :

Можно показать, что функцию для которой правая часть уравнения (174) стационарна, можно брать вещественной и что это условие вещественности пробных функций не меняет полученного вариационного свойства.