§ 26. Приложения и примеры

Вначале отметим очевидное следствие теоремы сложения. Полный момент импульса, получающийся сложением произвольного числа моментов, будет целым или полуцелым в зависимости от того, четно или нечетно число полуцелых моментов импульса в сумме.

Мы увидим, что это свойство выполняется во всех нижеследующих примерах.

В качестве первого примера рассмотрим сложение двух спинов

Пространство состояний имеет размерность 4. Полный спин 5 может принимать два значения: 0 и 1.

Спину соответствует только один вектор говорят, что спин находится в синглетном состоянии.

Спину соответствуют три вектора это векторы триплетного состояния.

Легко выписать проекторы на синглетное и триплетное состояния соответственно, как функции или Поскольку имеет собственное значение 0 в синглетном состоянии и 2 — в триплетном, отсюда (ср. с (100))

Заметим, что

Второй пример — частица спина . Ее орбитальный момент импульса и спин образуют полный момент который может принимать два значения

за исключением случая (-состояние), когда может принимать только одно значение Итак, может принимать все полуцелые значения, от 1/2 до , и каждому из них соответствует два терма (две серии из векторов) противоположной четности.

В качестве последнего примера рассмотрим двухнуклонную систему из § 23.

В этом случае необходимо связать три момента импульса — орбитальный момент и два спина Сложим вначале

спины, что дает полный спин который имеет два возможных значения 0 и 1. Затем свяжем S с моментом импульса для относительной координаты, который может принимать все целые неотрицательные значения. Каждой паре значений отвечает векторов, подходящие линейные комбинации которых дают собственные векторы полного момента. Согласно теореме сложения получаем следующие значения

Для обозначения полученных термов используем следующие спектроскопические обозначения: заглавная буква отвечает значению в соответствии с принятым в § IX. 6 соглашением; индекс слева вверху дает значение (кратность полного спина), а индекс справа внизу равен Например, означает терм с триплетное состояние спина и полный момент Каждому значению соответствуют 4 терма (т. е. всего векторов), исключение — значение которому соответствует только два терма. Ниже приводятся различные термы, соответствующие четырем первым значениям:

Те же обозначения часто используются и для рассмотренного выше случая частицы спина . Орбитальный момент обозначается строчной буквой — заглавными будет обозначаться полный орбитальный момент системы многих частиц — индекс слепа просто опускается. Приведем термы, отвечающие первым значениям