§ 6. Периодическое возмущение. Резонансы

Вероятность в первом порядке по потенциалу (формула пропорциональна квадрату модуля преобразования Фурье частоты функции где мы условились считать вне интервала Если V не зависит от то преобразование Фурье вычисляется элементарно и в результате, как мы видели, приходим к «сохранению невозмущенной энергии». Несложно провести гармонический анализ и в том случае, когда зависимость V от времени периодическая. Здесь возникает очень важное явление — резонанс.

Предположим, что V зависит от по гармоническому закону с частотой . Так как V — эрмитов оператор, то его можно представить в виде

где А — некоторый оператор, не зависящий от времени. Вероятность перехода в первом порядке равна (считаем

что можно сравнить с выражением (40).

Амплитуда перехода здесь состоит из двух членов. Для достаточно больших первый член мал, если только не близко к 0, т. е. если только энергия не лежит в интервале (ширины с центром в точке

второй член мал вне интервала (той же ширины) с центром в точке

Практически всегда достаточно велико и эти интервалы не перекрываются. Значит мало для всех переходов кроме тех, при которых невозмущенная система излучает или поглощает энергию на что указывают уравнения (55) и (55) соответственно.

В первом случае вклад в амплитуду перехода дает только первый член и для вероятности перехода получаем выражение

Основное отличие этого выражения от (40) состоит в замене на . В полной аналогии с рассуждениями § 4 можно рассмотреть переходы в группу уровней с энергией в интервале с центром в точке и при подходящих условиях определить вероятность перехода в единицу времени, которая вновь дается формулой (50) с тем отличием, что теперь относятся к состояниям энергия которых меньше энергии начального состояния на Те же рассуждения применимы к переходам, при которых система поглощает энергию (см. задачу 2).

Рассмотрим теперь более общий случай, когда V — произвольная периодическая функция с частотой Сформулируем кратко относящиеся к этому случаю результаты, доказательство которых предоставим читателю. Имеем разложение Фурье

Если то в первом порядке вклады в вероятность перехода от различных членов этого ряда не интерферируют, по скольку каждый из них вызывает переходы, отвечающие различному изменению энергии. При -переходах система теряет с точностью до энергию при -переходах система поглощает с точностью до энергию