§ 22. Динамические переменные частицы Дирака

Мы уже приводили физическую интерпретацию некоторых динамических переменных теории Дирака. Теперь мы рассмотрим этот вопрос более подробно и укажем те переменные квантовой теории, которые соответствуют приведенным в § 4 различным классическим величинам.

В этом обсуждении релятивистская инвариантность не играет существенной роли. Поэтому мы будем следовать той же схеме изложения, что и в нерелятивистской квантовой механике: система описывается определенным числом динамических переменных, удовлетворяющих заданной алгебре перестановочных соотношений, а уравнение Дирака — в форме Дирака (ур. (36), (44)) - описывает эволюцию динамических состояний системы в «представлении» Шредингера.

Таким образом, далее мы будем рассматривать время в качестве параметра, а пространственные координаты — в качестве динамических переменных. Фундаментальными переменными будут . В данном случае можно использовать весь формализм теории представлений без изменения. В частности, в представлении Дирака векторы состояния описываются четырехкомпонентными волновыми функциями зависящими от координат Скалярное произведение в этом представлении определяется следующей формулой:

Такое определение скалярного произведения согласуется с определением плотности вероятности положения частицы в пространстве, приведенном в § 6 (формула Более того, мы можем использовать здесь без изменений статистическую интерпретацию, которая была развита в первой части этого курса. В частности, среднее значение оператора Q в данном состоянии равно

где нормированный кет-вектор, представляющий данное состояние.

Те наблюдаемые, которые не действуют на внутренние степени свободы, имеют очевидную интерпретацию. Например,

— вектор положения (координата);

— импульс;

— количество движения.

Среди функций от отметим — проектор на подпространство, отвечающее собственному значению

Среди наблюдаемых, зависящих от внутренних степеней свободы, отметим

Определения величин Я и М основаны на соответствии с классической механикой. Что касается определения то оно следует из уравнения непрерывности, а определения и Р связаны с законами преобразования состояний при вращениях и отражении соответственно.

Наконец, принцип соответствия приводит к интерпретации переменной а как скорости частицы. К. этой интерпретации при водит также выражение для плотности потока. Действительно, сравним уравнения (18), (19) и (21) классической теории с соответствующими уравнениями квантовой теории. Для этого нам нужно перейти к «представлению» Гейзенберга, где уравнения движения для имеют вид

Заменяя в правой части этих уравнений их явными выражениями и используя перестановочные соотношения для получаем (задача 6)

Из определения (142) и свойств оператора а имеем тождество

Уравнения (147) — (149) для динамических переменных в «представлении» Гейзенберга совпадают по виду с уравнениями (18), (19) и (21) классической теории, если считать, что а совпадает со скоростью

Здесь следует отметить, что компоненты скорости а не ком мутируют друг с другом, а кроме того, каждая компонента имеет только два собственных значения в используемых нами единицах измерения). Это еще раз показывает, что развитую классическую интерпретацию нельзя понимать слишком буквально. Мы вернемся к этому вопросу в § 37.