§ 22. Исключение продольного поля

Среди уравнений Максвелла уравнения (1386) и (1396), строго говоря, не являются уравнениями движения, они представляют собой накладываемые на поля связи, которые фиксируют продольные составляющие этих полей.

Из уравнения (138 б) следует, что из уравнения (139 б) следует, что есть электростатическое поле, созданное распределением заряда . Следовательно, для определения динамического состояния системы достаточно задать распределения зарядов и токов (т. е. координаты и скорости частиц) и поперечные поля Таким образом, можно сформулировать теорию, полностью устранив продольную часть электромагнитного поля.

Вместо того, чтобы проводить такое исключение непосредственно, удобно ввести потенциал в радиационной калибровке (см. ур. (162)). Речь идет о простой замене переменных. По определению поле А — чисто поперечное

Старые переменные выражаются через новые по формулам (154) или

Потенциал можно найти из уравнения (156), которое в данному случае принимает вид

Получаем

откуда следует упоминавшееся выше выражение для в терминах Для исключения потенциала из уравнения (155 а) достаточно переписать это уравнение отдельно для продольной и поперечной составляющих. Первое из этих уравнений,

выполняется тождественно, если потенциал определяется формулой (180).

Второе уравнение не зависит от и является уравнением движения

Остается исключить продольное поле из уравнений движения частиц (ур. (142), (143)), т. е. из выражения для силы Лоренца, которая действует на каждую из частиц. Различные величины, связанные с частицами, будут обозначаться теми же символами, что и в § 17, и нумероваться индексами Так, вклад в плотность заряда частицы с номером равен и уравнение (179) принимает вид

Решением этого уравнения является кулоновский потенциал

Пусть — сила Лоренца, действующая на частицу с номером Ее можно представить следующим образом

где — значения полей в точке Подставляя выражение (184) в формулу для мы окончательно исключаем продольное поле.

Однако такую подстановку нельзя произвести непосредственно, поскольку потенциал расходится в точке Трудность возникла оттого, что мы считаем заряды точечными.

Величина есть действующая на частицу электростатическая сила, порожденная всеми имеющимися зарядами. Обозначим вклад в со стороны заряда частицы вклад со стороны всех остальных зарядов. Если частицы находятся достаточно далеко друг от друга, то, вычисляя можно считать заряды точечными, и мы получим

При вычислении гипотеза точечности заряда, очевидно, неприменима. В действительности, при любом распределении заряда внутри частицы получим

Таким образом, на каждую частицу действуют сила Лоренца, порожденная поперечным полем, и электростатическая сила со стороны всех других частиц (ур. (186))