§ 23. Энергия, импульс, момент импульса

Исключив продольное поле из уравнений движения, естественно исключить его и из законов сохранения энергии, импульса и момента импульса.

Заменяя в выражении для энергии поля (ур. (147а)) на мы получаем новое выражение, зависящее только от поперечных составляющих. Будем называть эту величину энергией излучения

Аналогичным образом определим импульс излучения X (см. ур. (147 б)) и момент импульса излучения (см. ур. (151))

Величины и равны соответственно энергии, импульсу и моменту импульса системы, когда отсутствуют заряды.

Эти величины можно представить в форме, аналогичной приведенной в разделе I для энергии, испульса и момента импульса скалярного поля (см. § 4, 6 и 7). Заменяя в выражениях (188) - (190) на интегрируя несколько раз по частям

и исггользуя тот факт, что — поперечные поля, исчезающие на бесконечности, получаем

и

где

При получении этих выражений удобно использовать методы и обозначения тензорного исчисления, в частности, полностью антисимметричный тензор трехмерного эвклидова пространства (определение дано в сноске на стр. 16) и тождество

Тогда

и поскольку — поперечное поле, исчезающее на бесконечности, имеем

откуда следует уравнение (188). Пользуясь аналогичным приемом, находим

откуда следует уравнение (189). Подобным образом,

откуда следует уравнение (190) при условии, что определяются формулами (191 а, б).

Поучительно сравнить полученные выражения с соответствующими формулами для скалярного поля. Рассмотрим, например, формулы (130) и (188) для энергии. Различия возникают в силу того, что: (i) поле А — векторное; (ii) его масса равна нулю; (iii) использованные здесь единицы отличаются от

принятых в разделе I множителем . В остальном выражение (188) является простым обобщением выражения (30), если считать как это подсказывает нам второе из уравнений (178) и что будет подтверждено в дальнейшем, канонически сопряженным к полю А импульсом. То же можно сказать о формулах (55) и (189) для импульса и для момента импульса (ур. (61) и (190)). Векторный характер поля отчетливо проявляется в выражении для момента импульса, где кроме члена который является простым обобщением выражения для момента импульса скалярного поля, появляется дополнительное слагаемое . Величина представляет собой «орбитальный момент импульса», — «спин» поля

Теперь мы можем исключить продольное поле из полученных в § 18 выражений для полной энергии, полного импульса и полного момента импульса системы, состоящей из электромагнитного поля и взаимодействующих с ним заряженных частиц.

Рассмотрим вначале полный импульс системы.

В соответствии с определением § 18 имеем

где

Заменяя по формулам (177), (178), получаем

Интегрируя по частям и учитывая, что и А исчезают на бесконечности, получаем

В силу уравнения (183) равно сумме -функций, интегрирование легко выполняется, в результате имеем

где, как и ранее, Подставляя найденное выражение в формулу (192), приходим к определению импульса частицы с номером

Выражение для полного импульса принимает вид суммы импульсов частиц и импульса излучения

Эта сумма является интегралом движения.

Поступая аналогичным образом с моментом импульса, приходим к определению момента импульса частицы

где — определенный выше импульс. Вычисления приводят к следующему выражению для полного момента импульса системы:

Наконец, рассмотрим полную энергию системы. Согласно определению § 17 ее можно представить в виде

где

Используя формулу (177) и интегрируя по частям, получаем

где — порожденный зарядом электростатический потенциал. Если считать заряды точечными, как это мы делали до настоящего момента, то находим

В полученной двойной сумме «перекрестные члены» отвечают кулоновской энергии взаимодействующих зарядов

(символ Х означает суммирование по всем парам частиц)

Все члены с совпадающими индексами обращаются в бесконечность. Эта трудность имеет то же происхождение, что и встретившаяся в конце § 22 при вычислении . Слагаемое с двумя индексами i представляет собой электростатическую энергию частицы i в собственном электрическом поле. Эта энергия существенно зависит от распределения заряда внутри частицы и становится бесконечной в пределе, когда размеры частицы стремятся к нулю (см. § 19). Чтобы получить разумную величину собственной энергии, следовало бы добавить в нее вклад упоминавшихся в § 19 сил сцепления, что не было сделано в данных вычислениях. Не имея последовательной теории внутренней структуры частиц, мы будем считать, что при подходящей модификации массы покоя эти члены «собственной энергии» можно опустить. Тогда для полной энергии системы получим следующее выражение:

Перед нами сумма энергий масс частиц, кулоновской энергии частиц и энергии излучения.