Раздел II. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С АТОМНОЙ СИСТЕМОЙ

§ 9. Взаимодействие с системой частиц

Рассмотрим взаимодействие поля и частицы. Нижеследующие рассуждения в существенном не изменятся, если частицу заменить системой нескольких частиц.

Динамические переменные системы частица поле являются функциями основных переменных подсистем. В качестве основных переменных частицы, которую мы будем считать для про стоты бесспиновой, возьмем вектор описывающий ее

положение, и ее импульс Р. В качестве основных переменных поля мы можем взять или определенные в предыдущем параграфе операторы рождения и уничтожения. В дальнейшем мы будем часто использовать операторы связанные с разложением по плоским волнам.

Состояния всей системы образуют пространство, которое является произведением пространства состояний частицы и пространства состояний свободного поля

Гамильтониан всей системы равен сумме трех слагаемых

Первые два слагаемых отвечают свободным подсистемам, последнее представляет собой энергию взаимодействия.

Выше мы получили несколько эквивалентных выражений для гамильтониана свободного поля отметим, в частности, выражение (48). Гамильтониан част описывает эволюцию стицы без поля Ф. Предположим для определенности, что частица находится во внешнем потенциальном поле и ее масса М удовлетворяет неравенству Будем считать, что движение частицы можно рассматривать в нерелятивистском приближении, т. е.

Остается определить . Простейшее из возможных выражений для Я получится, если предположить, что взаимодействие пропорционально величине амплитуды поля в точке где находится частица

Безразмерная постоянная называется константой связи. Вторая формула для Я получается из первой и разложения (46).

Такая форма взаимодействия почти однозначно определяется из требования релятивистской инвариантности. Однако в исследуемой здесь теории с самого начала используется нерелятивистское приближение. Это следует не только из того факта, что не обладает ковариантными свойствами, вытекающими из принципа относительности, но и потому, что сама концепция материальной системы, состоящей из одной или определенного числа частиц, не может быть оправдана в релятивистской квантовой механике. Эти два ограничения, имеющиеся

-в теории, следует иметь в виду при выборе Н. Выбору может помочь исследование из главы XX о нерелятивистском приближении для уравнения Дирака. Оно подсказывает нам, что взаимодействие поля и нерелятивистской частицы массы М не является локальным, как записано в формуле (64), а зависит от значений поля в области размером с центром в точке, где находится частица. Поэтому выражение (64) для Н мы заменим на выражение

где - вещественная, сферически-симметричная функция, удовлетворяющая условию нормировки

и сосредоточенная в области радиуса с центром в начале координат (см. рис. 23, а). Подставляя в правую часть формулы (65) вместо этой функции мы получим формулу (64).

Рис. 23. Общий вид функций

Мы назовем обрезающей функцию которая определяется равенством

Это вещественная, сферически-симметричная функция, удовлетворяющая условию силу хорошо известного свойства преобразования Фурье сосредоточенная в окрестности точки размером порядка М (см. рис. 23, б). Подставляя в правую часть формулы (65) разложение (46) для после несложных вычислений получаем

Отличие от формулы (64) заключается только в присутствии множителя в каждом слагаемом. Этот множитель обрезает вклад во взаимодействие высокочастотных членов, для которых .

Покажем, что пренебрежение вкладом высоких частот согласуется с нерелятивистским приближением. Каждое слагаемое в сумме (66) соответствует передаче определенного импульса и энергии от частицы полю и обратно. Так, член соответствует поглощению кванта поля с импульсом и энергией и передаче этого импульса и энергии частице, член соответствует рождению кванта поля с импульсом и энергией и уменьшению на эти величины импульса и энергии частицы. Если , то изменение энергии достаточно велико» так что может нарушиться закон сохранения частиц и поле может поглотить частицу или испустить вторую частицу массы М. Таким образом, нерелятивистское приближение оправдано только, если вклад высокочастотных слагаемых пренебрежимо мал, и результаты, которые дает это приближение, если они справедливы, не должны меняться при введении функции они должны быть нечувствительны к форме этой функции. В дальнейшем мы считаем, что

а параметр К имеет значение порядка М.

Исследуем свойства инвариантности Н. Из уравнения (65) видно, что Н инвариантен относительно сдвигов и вращений всей системы (поле частица), поскольку легко показать, что Н коммутирует с операторами полного импульса и полного момента импульса системы. Оператор инвариантен также относительно пространственного отражения, при котором переходит в (скалярное поле). Этими же свойствами инвариантности обладают гамильтонианы и (при условии, что , а следовательно, и полный гамильтониан системы Н. Если то инвариантен только по отношению к вращениям и отражению и, следовательно, Н инвариантен относительно вращений и отражений, на не инвариантен относительно трансляций.

Рассматриваемая квантовая система интересна в силу того, что она в простейшей форме демонстрирует основные свойства атома, взаимодействующего с электромагнитным излучением. Частица является аналогом атома, а скалярное поле — аналогом электромагнитного излучения. Основное отличие заключается в том, что кванты электромагнитного поля — фотоны —

имеют нулевую массу и спин 1, в то время как кванты исследуемого скалярного поля имеют нулевой спин и отличную от нуля массу. В оставшейся части этого раздела мы воспользуемся этой упрощенной моделью для изучения характерных свойств атома, находящегося в электромагнитном поле.