§ 7. Операции над пространствами представлений. Приводимость

Прямая сумма. Пусть — два представления одной и той же группы размерности соответственно, и пусть — соответствующие пространства представления.

Если -базисные векторы в то линейные подстановки, описывающие преобразование в этих двух представлениях, определяются законами преобразования базисных векторов

Прямой суммой пространств называется пространство, растянутое векторами

Матрицы в этом новом пространстве могут быть представлены в виде

где матрица, переводящая векторы пространства а в векторы из матрица, переводящая векторы из матрица, переводящая векторы пространства в векторы из . В частности, если А — матрица, оставляющая инвариантным пространство пространство то их прямой суммой будет матрица, имеющая блочно-диагональный вид:

Отметим, что

Операция взятия прямой суммы матриц сохраняет единицу и закон матричного умножения

Из сказанного выше следует, что множество матриц образует представление группы . Элементу соответствует линейная подстановка, которая определяется законами преобразования (1) базисных векторов пространства Характеры этого представления имеют вид: иными словами

Тензорное произведение (кронекерово или прямое произведение). Операция взятия тензорного произведения пространств или матриц была определена нами ранее (гл. VII).

При образовании тензорного произведения пространств мы получаем -мерное пространство базисными векторами которого служат векторы Матрицы полученные тензорным умножением матриц, которые соответствуют элементу в образуют представление размерности папь для группы В этом представлении заданное преобразование группы действует по правилу

Характеры этого представления определяются соотношением

Приводимость. Инвариантным подпространством пространства представления называется подпространство в каждый вектор которого при действии матриц из линейно преобразуется в другой вектор из этого же подпростр анства.

Представление называется:

(i) неприводимым, если не содержит инвариантных подпространств, отличных от самого пространства и нулевого подпространства;

(ii) приводимым, если оно не является неприводимым

Во втором случае, если также инвариантно, то говорят, что разло? жимо. При этом можно, используя подходящее линейное преобразование, перевести базисные векторы пространства Е в векторы, целиком лежащие либо в либо в . В реультате получается эквивалентное представление, являющееся прямой суммой представления и представления в

Представления называются компонентами представления

Представление является вполне приводимым, если оно может быть представлено в виде прямой суммы неприводимых компонент

Каждое унитарное представление либо неприводимо, либо вполне приводимо.

Матрицы вращений (Дополнение В, раздел IV) при заданном значении образуют неприводимое унитарное представление группы вращений. Строго говоря, является представлением группы вращений только при целом

Для любого является неприводимым представлением группы инфинитезимальные преобразования которой те же, что и у («накрывающая группа» группы ).

Группа состоит из двумерных уиимодулярных унитарных линейных подстановок, и является фактор-группой группы . В случае, когда полуцелое, является точным представлением группы и каждому элементу из соответствуют в две матрицы противоположного знака.

Все неприводимые представления абелевой группы одномерны (первой степени).

Г омоморфное отображение одного пространства представления на другое. Линейным отображением пространства

называется линейное соответствие, при котором каждому вектору соответствует один и только один вектор из Соответствие называется гомоморфным, если оно сохраняет трансформационные свойства векторов под действием всех преобразований группы, т. е. если из соответствий

следует, что

Отображение полностью определено, если задана матрица, которая определяет вектор из соответствующий каждому базисному вектору в

Если отображение гомоморфно, то выполняется матричное равенство

т. е.

Если множество векторов соответствующих векторам из растягивает все пространство (это предполагает, что папь), то мы имеем отображение на (надо понимать как на все . В этом случае все определители матриц содержащихся в матрице отличны от нуля.

Если соответствие взаимнооднозначно то матрица S несингулярна: . При этом гомоморфное отображение на называется изоморфным соответствием, и мы имеем