§ 3. Группа Лоренца

Преобразованием Лоренца системы координат называется вещественное, линейное преобразование координат, сохраняющее норму пространственно-временного интервала. Новые координаты точки в пространстве-времени получаются из старых по формулам

Вещественный вектор определяет трансляцию пространственно-временных осей. В дальнейшем преобразования трансляций мы будем рассматривать отдельно, а преобразованиями Лоренца назовем однородные преобразования

Поднимая или опуская индексы у матрицы можно получить матрицы (например, ). Задание одной из этих матриц определяет преобразование Лоренца. Условия вещественности и инвариантности нормы имеют вид

Следовательно,

и обратное преобразование можно записать в виде

Такие преобразования образуют полную группу Лоренца: группу вещественных линейных преобразований, сохраняющих скалярное произведение четырехмерных векторов.

Если то преобразование сохраняет знак временной компоненты времениподобных векторов. Такие преобразования называются ортохронными, они образуют ортохронную группу Лоренца.

Если дополнительно и , то преобразование сохраняет ориентацию (правую или левую) осей координат в обычном пространстве. Множество таких преобразований

образует собственную группу Лоренца, которую мы будем обозначать

Преобразования собственной группы Лоренца можно рассматривать как последовательность бесконечно малых преобразований. Матрица бесконечно малого преобразования имеет вид

где величины являются бесконечно малыми. Условия (12) и (13) дают

Следовательно, — вещественный антисимметричный тензор.. Положим

Тензор — антисимметричен и имеет две отличных от нуля компоненты: одна из которых равна а другая —1. Пусть есть бесконечно малая величина, тогда

есть матрица бесконечно малого преобразования Лоренца, отвечающего «вращению» на угол в плоскости

Существует шесть бесконечно малых преобразований такого вида. «Вращения» в плоскостях есть вращения на угол в пространстве вокруг осей соответственно. «Вращения» в плоскостях представляют собой специальные преобразования Лоренца (переход к движущейся системе координат со скоростью в направлении соответственно

Кроме бесконечно малых преобразований можно определить преобразования различных отражений: пространственного отражения и отражения времени Ортохронная группа состоит из группы

Таблица 1 (см. скан)

отражения s и преобразований из произведения Полная группа образована преобразованиями из Свойства этих четырех подмножеств полной группы приведены в табл. I.