§ 3. Группа Лоренца
Преобразованием Лоренца системы координат называется вещественное, линейное преобразование координат, сохраняющее норму пространственно-временного интервала. Новые координаты
точки в пространстве-времени получаются из старых
по формулам
Вещественный вектор определяет трансляцию пространственно-временных осей. В дальнейшем преобразования трансляций мы будем рассматривать отдельно, а преобразованиями Лоренца назовем однородные преобразования
Поднимая или опуская индексы у матрицы
можно получить матрицы
(например,
). Задание одной из этих матриц определяет преобразование Лоренца. Условия вещественности и инвариантности нормы имеют вид
Следовательно,
и обратное преобразование можно записать в виде
Такие преобразования образуют полную группу Лоренца: группу вещественных линейных преобразований, сохраняющих скалярное произведение четырехмерных векторов.
Если
то преобразование сохраняет знак временной компоненты времениподобных векторов. Такие преобразования называются ортохронными, они образуют ортохронную группу Лоренца.
Если дополнительно и
, то преобразование сохраняет ориентацию (правую или левую) осей координат в обычном пространстве. Множество таких преобразований
Таблица 1 (см. скан)
отражения s и преобразований из произведения
Полная группа образована преобразованиями из
Свойства этих четырех подмножеств полной группы приведены в табл. I.