§ 3. Операторы перестановки

Очевидно, что в состоянии, описываемом вектором (10), частица 1 находится в состоянии частица 2 — в состоянии частица N — в состоянии Перестановка частиц изменяет их распределение по состояниям , следовательно, вектор (10) переходит в новый, вообще говоря, отличный от исходного, базисный вектор -представления. Таким образом, операция перестановки устанавливает взаимнооднозначное соответствие между векторами рассматриваемого ортонормированного базиса и, следовательно, определяет некоторый линейный унитарный оператор в пространстве векторов состояния. Указанная процедура сопоставляет каждой перестановке N частиц оператор перестановки Р, удовлетворяющий условию унитарности

Так, при транспозиции - перестановке частиц 1 и 2 — вектор (10) преобразуется в вектор, описывающий состояние, в котором частица 1 находится в состоянии частица тогда как каждая из остальных частиц находится в исходном состоянии. Соответствующий оператор перестановки определяется соотношением

Для упрощения обозначений, мы продолжим изучение перестановок в случае Устанавливаемые принципы будут, конечно, справедливы и для любого значения . В качестве примера определим оператор соответствующий перестановке (1 2 3), при которой 1 переходит — в 2:

Если — вектор из то

Переобозначив индексы суммирования в последней строчке, получаем

Если - волновая функция состояния в -представлении (т. е. -амплитуда вероятности обнаружить частицу 1 в состоянии частицу 2 — в , частицу 3 — в то волновой функцией для является функция

которая получена действием на аргументы функции перестановки обратной перестановке (1 2 3).

Закон преобразования векторов при перестановке принимает особенно простую форму на векторах вида

на которых он совпадает с законом преобразования базисных векторов -представления. Действие Р на вектор такого вида дает вектор, который получается при перестановке частиц 1, 2,3, находящихся в одночастичных состояниях т. е. (уравнение

Доказательство несложно. Уравнение (13) в данном случае имеет вид

где правая часть есть не что иное как разложение по базисным векторам -представления.

Это свойство, доказанное только что для частного случая, имеет общий характер (задача 1). Из него следует, что оператор Р, соответствующий заданной перестановке, не зависит от конкретного симметрического представления, выбранного для определения этого оператора.

Действие оператора Р на вектор порождает вектор, который получается из исходного перестановкой Точно так же преобразование оператора в пространстве под действием унитарного оператора Р задает оператор, получающийся из данного применением перестановки к аргументам оператора Если

то

В частности

Для доказательства достаточно показать, что этот закон выполняется в случае, когда — любая из основных наблюдаемых системы. Рассмотрим одну из них. Всегда можно построить симметрическое представление, в котором наблюдаемая диагональна. Предположим для примера, что выбрана одна из рассмотренных выше наблюдаемых -представления. Для того чтобы показать, что достаточно показать, что выражения, стоящие в обеих частях этого равенства, одинаково действуют на любой из базисных векторов -представления. Доказательство несложно, и мы ограничимся проверкой этого утверждения в специальном случае

В применении к наблюдаемым приведенное определение перестановок согласуется с интуитивным: наблюдаемая полученная в результате применения перестановки к наблюдаемой В, имеет тот же спектр собственных значений, что и В, а собственные векторы наблюдаемой получаются действием оператора перестановки Р на собственные векторы наблюдаемой В, соответствующие тому же собственному значению.

В частности наблюдаемая В инвариантна относительно перестановки N частиц, если для каждой из перестановок этих частиц, т. е. если

для любого Р. В этом случае говорят, что наблюдаемая В симметрична относительно перестановки N частиц.