§ 24. Гамильтониан свободного электромагнитного поля

Полученные в § 22 уравнения движения можно представить в каноническом виде. Рассмотрим вначале случай свободного излучения, т. е. электромагнитное поле без зарядов.

Динамическое состояние поля в каждый момент времени определяется заданием поперечного векторного потенциала А и его скорости Электрическое и магнитное поля связаны с этими векторными полями формулами (178). Зависимость от времени определяется уравнением (182), которое в случае отсутствия зарядов принимает вид

Получили то же уравнение, что и для свободного скалярного поля (см. ур. (1)). Единственное отличие состоит в том, что в данном случае мы имеем поперечное векторное поле и отсутствует член с массой. В остальном канонический формализм

можно строить тем же способом, что и в разделе I для случая скалярного поля. Пусть — полный набор ортонормированных поперечных полей (см. ур. (170 б)), аналогичный определенному в § 21. Предположим далее, что этот набор является базисом вещественных нормальных координат

Соответствующие нормальные координаты определяются соотношением (см. ур. (6))

Величины — вещественные функции времени, удовлетворяющие уравнению для гармонического осциллятора с частотой

Такое движение порождается гамильтонианом

где — импульс, канонически сопряженный Импульс равен и получается из «скорости» поля А по формуле

Складывая гамильтонианы, отвечающие различным собственным частотам, получаем полный гамильтониан свободного излучения

Множитель в определениях (201) и (204) возник как следствие выбора единиц измерения электромагнитного поля

Гамильтониан представляет собой энергию излучения, выраженную в канонических переменных. Действительно, имеем (см. ур. (178)).

Из вещественности и ортонормированности множества следует

Кроме этого, поскольку Их) — поперечные векторные поля, удовлетворяющие уравнению (200), то, интегрируя по частям, имеем

Подставляя соотношения (208) и (209) в выражение для энергии (ур. (188)), находим