§ 31. Излучение фотона атомом. Дипольное излучение

Рассмотрим атом, находящийся в одном из возбужденных состояний с энергией . Такой атом может перейти в любое из состояний с энергиями меньшими чем и испустить при этом фотон, энергия которого равна разности энергий начального и конечного состояний.

Будем исследовать переход

где — конечное состояние атома, — импульс и поляризация испущенного фотона и

Вероятность перехода в единицу времени в первом порядке теории возмущений дается формулой (см. § 12)

Как видно из уравнения (235), Н является суммой трех слагаемых. Вклад третьего члена в интересующий нас матричный элемент исчезает. Вклады первого и второго членов легко

вычислить, используя выражения (236). В результате имеем

где

Подставляя полученные выражения в формулу (239), окончательно находим

Для атомов вероятность перехода по порядку величины существенно зависит от моментов импульса и от четностей состояний соответственно.

Если то вероятность перехода исчезает, поскольку матричные элементы тождественно равны нулю (задача 10). Это — известное правило отбора Оно связано с тем, что не существует фотона с нулевым моментом импульса (см. § 29).

Если или отличны от нуля, то вероятность перехода можно оценить, используя приближение больших длин волн. Пусть — длина порядка атомных размеров для обычных атомных переходов

так что

Следовательно, величины (241) можно оценить, если заменить экспоненты первым, дающим неисчезающий вклад членом их ряда Тейлора. Порядок величины этого вклада в основном определяется правилами отбора по моменту импульса и четности, но вникать в эти детали мы здесь не будем При прочих

равных условиях наибольшая вероятность перехода получается для так называемых электрических дипольных переходов, когда

(исключая

Далее следуют магнитные дипольные и электрические квадрупольные переходы, порядок величины которых раз меньше электрических дипольных переходов.

Если выполнены условия для электрического дипольного излучения (243), то мы можем записать

Грубая оценка этих матричных элементов

показывает, что слагаемое значительно меньше и им можно пренебречь. Для вычисления удобно ввести электрический дипольный момент электронов

(Это векторный оператор, который мы в §§ XIII. 33 и XVII. -обозначали см. ур. (XVII. 35).)

Оператор D удовлетворяет уравнению

Следовательно,

Здесь удобно взять определенные магнитные квантовые числа начального и конечного состояний и ввести в соответствии с определением (XIII. 125) приведенный матричный элемент . Если есть стандартная компонента векторного оператора D, то согласно теореме Вигнера — Эккарта имеем

Поскольку , где есть стандартные компоненты вектора поляризации (определение (XIII. 94)), то окончательно получаем

Если атом в начальном состоянии неполяризован и в конечном состоянии поляризация не измеряется, то нам следует просуммировать по и усреднить по , т. е.

Вычисления легко проделать, используя свойства симметрии и ортогональности коэффициентов Клебша—Гордана (см. ур. (В. 13в) и (В. 14а)), в результате получим

Как и следовало ожидать, это выражение не зависит ни от «направления излучения, ни от поляризации испущенного фотона. Полная вероятность перехода в единицу времени получается после суммирования по двум состояниям поляризации и интегрирования по направлениям излучения, т. е. после умножения этого выражения на