§ 31. Неприводимые тензорные операторы. Определение

В этом параграфе мы обобщим равенство (120) на класс операторов, которые называются неприводимыми тензорными операторами. Они не инвариантны относительно вращений, но закон преобразования их при вращениях довольно простой.

Понятие тензорного оператора является обобщением понятия векторного оператора.

Начнем с определения тензора. Допустим, что нам дано -мерное пространство такое, что при вращении векторы из линейно преобразуются в векторы из с каждым вращением связан линейный оператор в По определению, векторы являются -компонентными тензорами. Например, векторы в обычном пространстве и спиноры являются 3- и 2-компонентными тензорами соответственно; векторы из определенного в § 6 подпространства являются -компонентными тензорами, а кет-векторы пространства состояний квантовой системы — тензорами с бесконечным числом компонент.

Если выбрать набор базисных векторов в то каждый из упомянутых выше тензоров будет задаваться компонентами, а вращение — действием матрицы на эти компонент. Так, вращение вектора, заданного декартовыми координатами в обычном пространстве, осуществляется матрицей , определенной в § 10. Аналогично, если мы возьмем стандартное представление в то любой тензор подпространства определяется компонентами а компоненты им его преобразования при вращении получаются применением к им матрицы вращения (§ 16)

В качестве другого примера рассмотрим девять величин получающихся перемножением различных компонент векторов Они представляют собой девять компонент тензора, который мы обозначим Компоненты этого тензора после вращения получаются следующим образом:

Среди множества тензоров, которые можно построить, привилегированное положение занимают неприводимые тензоры. По определению, тензор является неприводимым, если пространство которому он принадлежит, неприводимо по отношению к вращениям.

Векторы обычного пространства, спиноры, векторы пространства являются неприводимыми тензорами.

С другой стороны, тензор — приводимый. Девятимерное пространство, в котором он определен, является прямой суммой трех неприводимых

инвариантных по отношению к вращениям подпространств, имеющих размерности 1, 3 и 5 соответственно. Следовательно, проекции тензора на каждое из этих подпространства дают неприводимые тензоры; с точностью до константы они представляют собой: скалярное произведение векторное произведение неприводимый -компонентный тензор, компоненты которого преобразуются при вращениях как гармонические полиномы второго порядка (см. § Б. 10) ).

Точно так же векторы -мерного пространства из § 25 являются приводимыми тензорами с компонентами, и теорема сложения дает их разбиение на неприводимые.

От понятия тензора переходят к понятию тензорного оператора точно так же, как от понятия вектора к векторному оператору.

Если операторов преобразуются при вращениях линейно друг через друга, как линейно независимых векторов пространства то они являются компонентами -мерного тензорного оператора. Линейное преобразование этих компонент даст новых операторов, которые можно рассматривать как компоненты того же тензорного оператора в другом представлении. Если пространство неприводимо, то и тензорный оператор называют неприводимым.

Векторные операторы образуют специальный класс неприводимых тензорных операторов.

Если — два векторных оператора, то девять операторов являются компонентами приводимого тензорного оператора, который может быть представлен в виде прямой суммы трех неприводимых тензорных операторов: скаляра вектора и тензорного оператора, который задается, например, пятью компонентами, приведенными в предыдущем примечании.

Тензорный оператор в заданном представлении однозначно определен законом преобразования его компонент при вращении.

По определению, операторов являются стандартными компонентами неприводимого тензорного оператора порядка если они преобразуются при вращениях по закону

Данный закон совпадает с законом преобразования базис векторов стандартного представления для

мерного пространства, неприводимого по отношению к враще ниям

Если равенство (122) выполнено для бесконечно малых вращений, то оно будет выполнено и для всех остальных вращений. Для бесконечно малых вращений оператор определяется формулой (55), матрицы легко получаются из определения (64), и закон (122) в этом случае эквивалентен следующим коммутационным соотношениям операторов компонентами полного момента импульса:

Соотношения (123), которые можно сравнить с (23) — (25), позволяют дать другое определение неприводимого тензорного оператора (полностью эквивалентное приведенному выше).

Если операторы соответствуют физическим величинам, то они инвариантны относительно поворота на (ср. § 15) и, следовательно, — целое число. В дальнейшем мы будем рассматривать только неприводимые тензорные операторы целого порядка.

Легко показать, что операторов

удовлетворяют соотношениям (123) (задача 16), и, следовательно, являются стандартными компонентами неприводимого тензорного оператора порядка По определению, операторы и эрмитово сопряжены друг другу

(поскольку — целое, ясно, что операция эрмитова сопряжения обратима).

Скаляры являются неприводимыми тензорными операторами нулевого порядка. Векторные операторы — неприводимыми тензорными операторами порядка 1: если декартовы компоненты векторного оператора, то его стандартными компонентами будут

(Отметим, что фигурирующие здесь коэффициенты отличны от встречающихся в соотношениях (94).)

Сферические функции рассматриваемые как операторы, представляют собой стандартные компоненты неприводимого тензорного оператора порядка