§ 16. Обращение времени в классической и квантовой механиках

В оставшейся части этого раздела мы будем рассматривать только консервативные системы. Законы движения таких систем часто оказываются инвариантными не только относительно временных сдвигов, но и относительно обращения времени. Эта инвариантность встречается также и в классической механике.

Лагранжева функция классической механики является полиномом второго порядка по скоростям. Для многих

систем функция Лагранжа не содержит членов первого порядка, и мы имеем

Системы, состоящие из изолированных частиц, всегда обладают этим свойством симметрии. Введение статического внешнего поля не всегда приводит к нарушению свойства симметрии. Оно сохраняется, например, в чисто электрическом поле. С другой стороны, в магнитном поле взаимодействие линейно по скоростям и, следовательно, нарушает это свойство. Если же указанное свойство симметрии имеется, то импульсы являются линейными однородными функциями скоростей, а функция Гамильтона инварианта относительно обращения времени.

Рис. 7. Изображение двух классических траекторий (а) и (б), связанных отражением времени

Для того чтобы обсуждение стало менее формальным, рассмотрим следствия такой симметрии на простом примере частицы в статическом потенциале. Тогда имеем

Отсюда следует, что все решения уравнений движения обратимы во времени: функция которая определяется равенством

также является решением уравнений движения. Соответствие между двумя решениями представлено на рис. 7.

Положение частицы в момент времени в одном из решений совпадает с положением частицы в момент времени в другом; ее скорость в момент в одном из решений противоположна

по направлению скорости в момент времени в другом решении. Соответствие между импульсами то же, что и между скоростями

Рассмотрим теперь аналогичную квантовую систему. Уравнение Шредингера имеет вид

Гамильтониан является вещественным оператором. Если изменить на и взять комплексное сопряжение от обеих частей уравнения, то получим

Иными словами, если -решение уравнения Шредингера, то функция

также является его решением.

Соответствие между на удивление аналогично соответствию между двумя классическими решениями, рассмотренному выше (уравнения (68) - (69)). Обозначив плотности вероятности для координаты и импульса в момент времени имеем