§ 11. Сдвиги уровней

В качестве первого приложения вычислим упоминавшиеся в конце предыдущего параграфа сдвиги уровней. Эти несложные вычисления по теории возмущений познакомят нас с основными трудностями теории поля, позволят понять физический смысл и границы применимости теории.

Рассмотрим устойчивый уровень, например, основное состояние, и вычислим порожденный членом Я сдвиг, пользуясь стационарной теорией возмущений. Для простоты будем считать уровень невырожденным. Поскольку свойства инвариантности Я и Ячаст совпадают, то рассмотрение вырожденного уровня не имеет принципиальных различий. В первом порядке сдвиг определяется формулой (XVI. 12). Из свойств Н следует, что

и вычисления необходимо проводить во втором порядке. Пусть — поправка к энергии второго порядка, тогда имеем (см. § XVI. 6)

Вычислим это выражение, используя определенное выше представление. Из промежуточных состояний вклад будут давать только состояния, содержащие один квант. Принимая во внимание соотношения (68), (69а) и (70), последовательно получаем

Заменяя суммирование по интегрированием согласно правилам, описанным в § 6, и используя обрезающую функцию (67), имеем

Отметим, что

Действительно, все слагаемые в правой части формулы (72) неотрицательны, так как речь идет об основном состоянии и для любого V.

Чтобы получить оценку сверху для можно заменить величину в знаменателе ее минимальным значением, т. е. нулем. Тогда суммирование по легко выполнить, используя соотношение полноты . Поскольку сумма равна и после интегрирования по углам имеем

Интеграл в неравенстве (73) можно легко вычислить, и так как он лишь незначительно меньше К. Следовательно,

Более точную оценку правой части формулы (72) можно получить следующим образом. Если воспользоваться соотношением полноты и заменить согласно формуле (70), то получим

Унитарный оператор коммутирует с и преобразует оператор Р в . Следовательно,

и

Подставляя это выражение в правую часть формулы (75), находим

Членом в правой части можно пренебречь, поскольку среднее значение скорости частицы в состоянии много меньше 1 (нерелятивистское приближение). В этом приближении после интегрирования по углам получаем

выражение, которое отличается от правой части неравенства (73) только мноч жителем под знаком интеграла. Поскольку чение этого множителя меняется от 1 до 2/3 на промежутке интегрирования, и мы можем написать

Фигурирующая в этой формуле константа s имеет значение между 2/3 и 1,

Для оценки этого эффекта вычислим порядок его величины в случае, когда различные параметры модели имеют численные значения того же порядка, что и встречающиеся в атомах. Так, М равна массе электрона, — постоянная тонкой структуры

Пусть — расстояние от рассматриваемого уровня до ближайшего соседнего уровня

С данными числами

Таким образом, это очень сильный эффект, значительно превосходящий сдвиги, наблюдаемые экспериментально. Естественно, возникает вопрос о справедливости рассмотрения по теории возмущений и физическом смысле результата.

Однако разумное сравнение теории и эксперимента должно учитывать следующее. Масса М, которая фигурирует в вычислениях невозмущенных уровней, не есть экспериментально наблюдаемая масса. Последняя получается на основании измерений энергии и импульса «свободной» частицы, т. е. частицы вне потенциала . Такая «свободная» частица, тем не менее взаимодействует с полем и, следовательно, измерение дает: Мэксп где представляет собой вклад в энергию» покоя «свободной» частицы, порожденной наличием поля. В данном случае несложные вычисления дают Точнее, вычисление во втором порядке по теории возмущений приводит к правой части формулы (76) (задача 2).

Следовательно, сдвиг почти полностью вызван «перенормировкой» массы

В вычислениях уровней атома водорода в теории Шредингера или Дирака фигурирует экспериментальная масса электрона. Таким образом, учитывается основная часть взаимодействия электрона с полем излучения, что объясняет замечательное согласие вычисленного спектра с наблюдаемым.

«Экспериментально наблюдаемый сдвиг» равен разности между вычисленным сдвигом и сдвигом, порожденным заменой теоретического значения массы на экспериментальное («перенормированная» масса) в гамильтониане частицы. Для нашей модели подстановка «перенормированной» массы ведет к замене на

и к сдвигу всех уровней на величину . Тем самым, имеем

Если ограничиться вторым порядком теории возмущений, то вычисление не представляет серьезных затруднений, и для получается значение порядка , что является разумным по порядку величины.

Тем не менее, к полученному значению следует относиться с осторожностью, поскольку оно очень чувствительно к выбору обрезающей функции. Реалистические вычисления должны основываться на полностью релятивистской теории. В действительности мы встречаемся здесь с трудной проблемой квантовой теории поля, которая в настоящее время не имеет удовлетворительного решения. Взаимодействие в релятивистской теории является локальным, и для получается выражение вида: , где Z представляется расходящимся интегралом (см. предыдущую сноску). Точно так же представляются расходящимися интегралами, так что выражение для является неопределенностью типа .

Несмотря на упомянутые ограничения, мы продолжим исследование нашей упрощенной модели, которая корректно описывает большое количество экспериментальных фактов. Такие эффекты как «перенормировка» массы, удовлетворительное рассмотрение которых возможно только в рамках ковариантного формализма, мы оставляем в стороне.