§ 3. Квантование свободного поля

Переход к нормальным координатам дает возможность проквантовать вещественное скалярное поле наиболее простым способом. Он заключается в сопоставлении каждой моде нормальных колебаний классического поля квантового осциллятора с той же частотой (см. главу XII).

Запишем классический гамильтониан в нормальных координатах. Пусть — импульс, сопряженный Тогда уравнение

(7) эквивалентно гамильтоновым уравнениям

которые получаются, если для степени свободы взять гамильтониан

Следовательно, полный гамильтониан имеет вид

Соответствующее квантовое поле получается заменой вещественных динамических переменных на наблюдаемые, которые удовлетворяют коммутационным соотношениям

Каждой моде отвечает набор дискретных эквидистантных энергетических уровней

Для дальнейшего удобно ввести операторы рождения и уничтожения, которые мы обозначим через и соответственно,

Коммутационные соотношения (11) для наблюдаемых эквивалентны коммутационным соотношениям для операторов рождения и уничтожения

а собственные векторы получаются последовательным действием оператора на вектор основного состояния (см. ур. (XII. 20)).

Взяв тензорное произведение собственных состояний гамильтонианов получим полный набор собственных состояний Н. Такие состояния нумеруются квантовыми числами энергия состояния равна сумме энергий отдельных мод, входящих в это состояние;

Нормированный собственный вектор, отвечающий такому состоянию, получается из вектора представляющего основное

состояние, по формуле

Поле в точке представляется эрмитовым оператором который определяется равенством

полученным по принципу соответствия из классической формулы (5). Удобно переписать формулу (17) в терминах операторов

До сих пор поле рассматривалось как множество квантовых осцилляторов. В рассмотренных выше стационарных состояниях каждое квантовое число определяло число квантов, относящихся к определенной моде нормальных колебаний. Собственным состояниям Н и операторам системы можно также дать корпускулярную интерпретацию, которая уже обсуждалась в § XII. 6. Тогда представляет собой число частиц в состоянии с энергией является собственным значением некоторого оператора — оператора «числа частиц в состоянии который определяется равенством

где — оператор уничтожения частицы в состоянии — оператор рождения частицы в том же состоянии.

Интерпретация является самосогласованной, только если полная энергия данного динамического состояния равна сумме энергий частиц, образующих это состояние. Как уже отмечалось в § XII. 6, для этого достаточно из каждого гамильтониана в правой части формулы (10) вычесть константу Это изменение полного гамильтониана никак не влияет на уравнения движения, зато новый гамильтониан обладает желаемым свойством

В частности, вакуум является состоянием с нулевой энергией, представляемым кет-вектором Вектор представляет состояние с одной частицей, и энергия этого состояния равна энергии этой частицы

Рассматриваемые здесь частицы неразличимы и динамическое состояние всей системы полностью определяется числом частиц в каждом из индивидуальных состояний, которых могут находиться частицы. Эти

«числа заполнения» могут принимать целые неотрицательные значения от 0 до Следовательно, рассматриваемые частицы подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна (см. § XIV. 6), и квантовое поле представляет собой систему с неопределенным числом бозонов.

В заключение этого параграфа сделаем замечание об основном состоянии системы. Вакуум квантового поля сильно отличается от классического вакуума. Последний является состоянием с минимальной энергией, в котором поле всюду равно нулю. В квантовом случае поле является оператором, который не коммутирует с гамильтонианом. Вакуумное ожидание поля равно нулю, что легко показать, используя свойства операторов но среднеквадратичное отклонение отлично от нуля. Действительно, используя выражение (18) для поля, находим

и так как

получаем

В правой части стоит ряд из положительных членов, следовательно, мы получили отличное от нуля положительное значение. В действительности можно показать, что полученный ряд расходится. Появление расходящихся величин характерно для систем с бесконечным числом степеней свободы и является источником серьезных трудностей в квантовой теории поля. Мы еще вернемся к этому вопросу в разделе II.