§ 22. Кулоновское возбуждение ядер

Для иллюстрации обобщенного борновского приближения вернемся к задаче, которая уже рассматривалась в § XVII. 3, и при ее решении откажемся от использованного там классического приближения.

Если не оговорено противное, то используются обозначения § XVII. 3. Будем считать энергию столкновения достаточно малой, так что справедливо условие (XVII. 28). С другой стороны, условия (XVII. 29) и (XVII. 30), т. е. условия применимости классического приближения, могут не выполняться. Так как энергия столкновения меньше высоты кулоновского барьера , протон «проникает» в ядро в процессе столкновения очень незначительно. Следовательно, эффекты, вызванные

ядерными взаимодействиями, малы и в данный момент мы их рассматривать не будем. Тогда столкновение описывается гамильтонианом

Пусть — набор данных, которые описывают начальные и конечные условия столкновения, а и — соответствующие собственные функции оператора Поскольку в переменные, описывающие протон, и переменные ядра полностью разделены, функция есть произведение волновой функции ядра в состоянии а и кулоновской рассеянной волны описывающей стационарное состояние рассеяния протона с энергией Е и импульсом на потенциале . Точно так есть произведение волновой функции ядра в состоянии и кулоновской волны сходящегося типа, которая описывает состояние рассеяния протона с энергией и импульсом на потенциале Так как не дает вклада в канал точная формула (127) принимает вид

Если V рассматривать как малое возмущение, то его вкладом в можно пренебречь и заменить на получив, в согласии с обобщенным борновским приближением (129), следующий ответ:

Поскольку при волны X практически равны нулю, мы можем заменить потенциал V его разложением (XVII. 34), что дает

Воспользовавшись формулой (115), получаем сечение кулоновского возбуждения. Выражение для него аналогично выражению для сечения в полуклассической теории. Последнее получается из первого заменой на положительная константа А определяется соотношением: Действительно, в пределе, когда выполнены условия (XVII. 29) - (XVII. 30), основной вклад в интеграл

дает окрестность классической траектории, и применение метода стационарной фазы приводит к полуклассическому ответу.

Обсуждение правил отбора, которое было проведено в конце § XVII. 3, может быть без изменений повторено и в данном случае. В частности, если в эксперименте ядра мишени не ориентированы и не измеряется поляризация возбужденных ядер, то имеем

В приведенные выше рассуждения можно включить также и ядерные взаимодействия. Пусть — потенциал ядерного взаимодействия протона с нуклонами ядра А. Потенциал очень велик в области и практически равен нулю при Мы будем включать в оператор Удобно разбить потенциал V на внешнюю и внутреннюю части: согласно определению

и часть также включить в После таких модификаций использованное выше разделение переменных уже не имеет места, а не равны более чисто упруго рассеянным волнам. Согласно обобщенному борновскому приближению имеем

Первое слагаемое описывает ядерное возбуждение. Оно равно амплитуде перехода, которая получается при замене взаимодействия протона с ядром во внешней области чисто кулоновским взаимодействием. При этом возбуждение а возможно, только если протон проникает в ядро. Второе слагаемое описывает собственно кулоновское возбуждение.

Из-за существования кулоновского барьера и характера ядерных сил (короткодействующие и большие) волны и при низких энергиях имеют узкие резонансы, подобные тем, которые исследовались в главе X (раздел IV). Зная характеризующие эти резонансы параметры — энергию, ширину резонанса в различных открытых каналах — можно построить волны во внешней области и вычислить два члена амплитуды рассеяния. Вне резонансов протон практически не проникает в ядро, амплитуда пренебрежимо мала, и

амплитуда кулоновского возбуждения с очень хорошей точностью дается формулой (137), в которой волны X равны чисто кулоновским рассеянным волнам. При переходе через резонанс вкладом амплитуды нельзя пренебречь, а ее зависимость от энергии имеет типично резонансный вид (см. ур. (64)). В то же время амплитуда кулоновского возбуждения также несколько модифицируется, на чем мы здесь не останавливаемся, и обе амплитуды дают когерентный вклад в полное сечение.