§ 16. Неприводимые инвариантные подпространства. Матрицы вращений

Как установлено в конце § 5, выражение (60) показывает, что любой оператор вращения есть функция компонент полного момента импульса. Следовательно, векторы пространства построенного в § 5, преобразуются при вращении в векторы т. е. пространство инвариантно относительно вращений.

Точнее, если — произвольно выбранный вектор этого пространства, то множество векторов получаемых из вращением, натягивают все пространство Пространство, обладающее этим свойством, называется неприводимым по отношению к вращениям. Если же, напротив, в существовал бы по крайней мере один вектор такой, что множество векторов натягивало лишь частично, то было бы приводимым по отношению к вращениям.

Неприводимость можно показать следующим образом. Обозначим пространство, натянутое на векторы через Тогда принадлежит так как

То же верно для Более того, любой вектор, полученный применением или к векторам принадлежит Рассмотрим разложение и обозначим наименьшее значение М, для которого Следуя методам § 5, получаем, что — ненулевой вектор, пропорциональный

отсюда принадлежит и поскольку последовательным применением мы получаем все состояния они также принадлежат Следовательно, содержит полный набор базисных векторов и, значит, эти два пространства совпадают.

Как указано в § 6, пространство кет-векторов физической системы является прямой суммой некоторого числа -мерных подпространств Напомним, что представляет собой набор квантовых чисел, которые позволяют различать полные наборы квантовых чисел, соответствующие одному собственному значению Каждое из подпространств является неприводимым и инвариантным по отношению к вращениям. В стандартном представлении компоненты в каждом из этих подпространств задаются простыми матрицами, не зависящими от . Аналогично любой оператор вращения выражается в каждом некоторой -мерной матрицей зависящей от но не зависящей от квантовых чисел . По определению:

Эти матрицы образуют особенно удобное представление операторов и используются всякий раз, когда необходимо изменить ориентацию векторов состояния или наблюдаемых. Их называют матрицами вращений. Основные свойства этих матриц и явный вид некоторых матриц приведены в Дополнении В (раздел IV).

Непосредственно из определения матриц вращения следует, что базисных векторов подпространства преобразуются при вращении по закону

Легко показать и обратное, а именно: если векторов преобразуются при вращении согласно закону

то они удовлетворяют уравнениям на собственные значения

и получаются один из другого действием операторов в соответствии с соотношениями (24) — (25).