§ 4. Алгебра операторов перестановки. Симметризаторы и антисимметризаторы

Последовательное действие двух перестановок эквивалентно действию одной перестановки Из определения оператора перестановки очевидно, что то же соотношение справедливо и для соответствующих операторов

Таким образом, операторы перестановок удовлетворяют тем же алгебраическим соотношениям, что и определяющие их перестановки.

В частности, любой оператор Р можно записать в виде произведения транспозиций. В общем случае такая факторизация не единственна. Однако все такие представления состоят либо из четного, либо из нечетного числа транспозиций. Четность перестановки обозначается и равна или — в соответствии с четностью или нечетностью числа транспозиций, образующих перестановку. Если связаны соотношением (17), то очевидно имеем:

Некоторые перестановки, в частности транспозиции, совпадают со своими обратными. В таких случаях (см. ур. (11)) Соответствующий оператор является наблюдаемой, возможные собственные значения которой равны ±1.

В качестве примера рассмотрим транспозицию (ij):

Собственные векторы с собственным значением инвариантны при транспозиции Они, по определению, являются симметричными по и Проектор на подпространство векторов, симметричных по есть оператор симметризации

Собственные векторы с собственным значением —1 изменяют знак при транспозиции Эти векторы, по определению, антисимметричны по Проектором на подпространство векторов, антисимметричных по является оператор антисимметризации

Очевидно, справедливы соотношения

Каждый вектор является суммой вектора, антисимметричного по и вектора, симметричного по Разложения такого Типа использовались при обсуждении рассеяний двух тождественных частиц в § 1.

Расширим понятия симметрии и антисимметрии динамических состояний, которое было определено выше лишь для перестановок на общий случай перестановок Р.

Выберем вектор в и обозначим — подпространство, натянутое на вектор и на все векторы, которые могут быть получены из него перестановками. Размерность подпространства равна если векторов линейно независимы и меньше если эти векторы линейно зависимы.

Экстремальным случаем будет ситуация, когда все представляют одно и то же состояние

для любой перестановки Ниже будут приведены условия, ограничивающие произвол в выборе постоянных Если Р — транспозиция, то, как мы знаем, может принимать только значения ±1. Далее, поскольку любая транспозиция равна произведению то

или

Следовательно, постоянная с совпадает для всех транспозиций: либо либо и так как всякая перестановка является произведением транспозиций, то соответствующая постоянная имеет вид степени си либо с четным, либо с нечетным натуральным показателем в соответствии с четностью или нечетностью перестановки

Таким образом, мы приходим к выводу, что уравнение (22) справедливо только в двух следующих случаях:

Вектор называется симметричным или антисимметричным относительно перестановки N частиц в зависимости от того, какой случай (а) или (б) имеет место.

Симметричные векторы образуют подпространство в , а антисимметричные векторы образуют в подпространство

ортогональное к Покажем, что проекторами на эти подпространства являются соответственно операторы

( распространяется на все возможных перестановок).

Рассмотрим последовательность, полученную произвольным упорядочением всех перестановок. Если каждый элемент умножить справа и слева на оператор некоторой перестановки, то в результате будет изменен только порядок расстановки элементов в рассматриваемой последовательности, так что

Замена каждого элемента Р обратным также сказывается лишь на порядке следования элементов, и так как перестановка и обратная к ней имеют одну и ту же четность, то

Из равенств (27) и определений (26) легко получить соотношения

и

Соотношения (28) — (30) показывают, что S являются ортогональными проекторами. Далее, если содержится в то из (24) имеем

и обратно, если — произвольный вектор, то согласно (27) получаем

Следовательно, S действительно является проектором на Аналогичным образом можно показать, что является проектором на .

В случае для S легко вывести явные формулы

Как видно из этого примера, при N > 2. Действительно, является проектором на пространство состояний, инвариантных относительно четной перестановки N частиц, которое при является подпространством в

Вернемся к определенному выше пространству Из соотношений (27) следует, что для любого Р справедливы равенства .

Таким образом, растягивающие векторы имеютодну и ту же проекцию на и с точностью до знака одинаковую проекцию на Следовательно, в соответствии с тем, являются ли векторы отличными от нуля или нет, содержит либо один и только один симметричный вектор, либо вовсе не содержит таковых и аналогично, в зависимости от того равен нулю или отличен от нуля вектор содержит один и только один антисимметричный вектор либо не содержит ни одного.