§ 24. Рассеяние частицы на двух центрах

Основное достоинство формальных построений предыдущего параграфа состоит в том, что они годятся для любых сложных столкновений. Для того чтобы ближе познакомиться с этим формализмом, рассмотрим несложную задачу о рассеянии частицы на двух рассеивающих центрах и получим ряд известных результатов.

Пусть, например, электрон сталкивается с двумя атомами. В дальнейшем мы не будем учитывать обменных эффектов и не станем делать каких-либо предположений о длине волны налетающей частицы.

Ядра атомов будем считать бесконечно тяжелыми, рассматривая их как фиксированные центры. Ядро 1 выберем в качестве начала координат и обозначим вектор, соединяющий ядра 1 и 2 (см. рис. 18). Предполагается, что расстояние велико по сравнению с атомными размерами . Столкновение

описывается гамильтонианом

где — операторы энергии атомов 1 и — потенциалы взаимодействия атомов с налетающей частицей. Обозначим свободную функцию Грина

Рис. 18.

Матрицу перехода Т, связанную с рассеянием частицы (упругим или неупругим) на двух атомах, можно представить в виде борновского разложения

Заменяя К на , получаем разложение Т по степеням

Мы не будем делать каких-либо предположений о величине потенциалов . По этой причине приведенное разложение не обязано быстро сходиться, и в том виде, как оно записано, его нельзя использовать в качестве отправной точки какого-либо приближенного метода. Однако можно так перегруппировать члены этого разложения, что в результате получится быстро сходящееся разложение.

Такая возможность основана на следующем замечании. Рассмотрим матричный элемент члена второго порядка в представлении, где диагонален оператор . Матричный элемент свободной функции Грина содержит множитель . Поскольку потенциал сосредоточен в малой окрестности начала координат, в малой окрестности точки то упомянутый множитель имеет порядок . То же справедливо и для члена Грубо говоря, слагаемые раз меньше слагаемых Это же замечание относится и к остальным слагаемым. Оно позволяет нам классифицировать различные члены в соответствии с тем, сколько раз стоит между и . Мы будем на зывать членами первого порядка такие, в которых ни разу не появляется между , членами второго порядка, — если

появляется между и один раз, членами порядка, — если появляется раз, и т. д. Согласно этой терминологии члены первого порядка второго порядка.

Введем индивидуальные матрицы перехода

Матрица перехода отвечает рассеянию на атоме 1 в предположении, что налетающая частица не взаимодействует со вторым атомом. Аналогичный смысл имеет матрица перехода Используя операторы просто записать вклады различных порядков. Искомые выражения определяются путем несложного исследования структуры ряда. Первый порядок дает второй порядок . В результате получаем

Разложение (149) является исходной точкой нашего подхода к данной задаче. Легко дать интерпретацию различным членам этого разложения. Члены первого порядка отвечают рассеянию частицы либо на атоме либо на атоме

Рис. 19. Графическое изображение членов разложения (149).

Члены второго порядка отвечают двойному рассеянию; так, член описывает рассеяние налетающей частицы на атоме (оператор ), последующее распространение рассеянной частицы от атома 2 к атому 1 (оператор ), наконец, рассеяние на атоме 1 (оператор ). Точно так же каждый член порядка описывает последовательных процессов рассеяния на атомах 1 и 2.

В связи с такой интерпретацией каждый член можно схематически представить диаграммой того же типа, что и в нестационарной теории возмущений (рис. 10). На рис. 19 изображены две такие диаграммы.

Разложение (149) связывает амплитуды переходов при рассеянии на двух центрах с амплитудами переходов при рассеянии на отдельных центрах.

Предположим, для простоты, что атомы тождественны друг другу, и обозначим матрицу перехода с энергией при рассеянии на одном центре, т. е. при рассеянии частицы на одном атоме, расположенном в начале координат.

Пусть есть собственный вектор Но, который равен произведению волновой функции атома 1, волновой функции атома 2 и плоской волны описывающей налетающую частицу с импульсом

Мы пользуемся нормировкой, при которой

Точно так же вектор равен произведению плоской волны на волновую функцию атома из задачи с одним рассеивающим центром.

Из определения Т (148) легко получить, что

Аналогичным образом можно найти связь матричных элементов с элементами матрицы перехода при рассеянии на одном атоме, расположенном в точке Такая матрица перехода получается из общим сдвигом на , следовательно (задача 5),

Формулы (150) и (151) справедливы для любых переходов, в частности, и в том случае, когда энергии состояний отличны от Е.