§ 13. Модель атома Томаса—Ферми

Потенциал основного состояния в случае можно определить, используя полуклассический метод, развитый Томасом и Ферми.

Пусть -плотность вероятности обнаружить электрон в элементе объема в случае, когда атом находится в основном состоянии. Мы будем предполагать, что эта функция сферически симметрична. Она удовлетворяет условию нормировки

Z электронов образует вокруг ядра облако с отрицательным электрическим зарядом средней плотности Заряды атома создают усредненный электрический потенциал который определяется:

(i) точечным зарядом ядра, помещенного в начало координат;

(ii) непрерывным распределением электрического заряда с плотностью

Потенциал Ф является решением уравнения Пуассона

которое ведет себя в начале координат согласно условию

В пределе электрическое поле, порождаемое одним электроном, мало по сравнению с полем остальных электронов, и в приближении независимых частиц потенциал, действующий на каждый электрон, имеет вид

В основном состоянии атома Z электронов занимают Z низших квантовых состояний частицы с массой в поле Плотность равна сумме плотностей первых Z уровней. Это означает наличие функциональной связи между и потенциалом Для определения этой зависимости мы обратимся к следующему «полуклассическому» приближению.

В классическом пределе число стационарных состояний в полосе энергий пропорционально объему, занятому этой полосой в фазовом пространстве соответствующей классической частицы. Коэффициент пропорциональности равен что в два раза больше, чем множитель, использованный в § VI. 11, из-за того, что электрон имеет два состояния спина. Когда заполнены Z низших квантовых состояний, распределение

энергии электронов в атоме совпадает с распределением энер статистической смеси Z классических электронов, имеющих в фазовом пространстве плотность

где — энергия высшего из заполненных уровней. Поскольку начало отсчета энергии можно фиксировать произвольно, мы положим

Квазиклассическое приближение состоит в предположении, что электроны в атоме имеют то же пространственное распределение, что и классическая статистическая смесь

Заменив его выражением через , находим после несложного интегрирования

Подставив (63) в правую часть равенства (60), получаем дифференциальное уравнение второго порядка для Ф. С учетом соотношений (59) и (61) эта функция определена полностью. Равенства (61), (63), (59) и (62) являются основными соотношениями модели Томаса—Ферми.

Для определения Ф и из полученных соотношений удобно сделать следующую замену переменной и функции:

где

Из (63) получаем как функцию безразмерных величин

Основное уравнение (60) эквивалентно уравнению

Условие (61) означает, что Из уравнения (67) следует, что очевидно имеет не более чем один нуль в интервале если обращается в нуль в точке о, то положительно в интервале и отрицательно в интервале Следовательно, учитывая (64), (66) и (67), условие (59) можно переписать в виде

Это условие требует, чтобы производная обращалась в нуль в точке а значит х обращается в нуль только на бесконечности.

Итак, есть решение уравнения

удовлетворяющее условиям

Рис. 5. Функция Томаса—Ферми

Функция может быть найдена численным интегрированием. На рис. 5 изображена соответствующая кривая. Зная мы можем найти

Для оправдания классического приближения, необходимо, чтобы большая часть Z одноэлектронных состояний находилась бы «в области больших квантовых чисел», т. е. чтобы Для заданного атома плотность электронов и электростатический потенциал определяемые в рамках модели Томаса — Ферми, имеют вид, который получается в пределе, когда квант действия и заряд каждого электрона становятся бесконечно малыми, число электронов Z становится бесконечным, а характеристическая длина и полный заряд электронного облака остаются постоянными.

Метод Томаса — Ферми позволяет оценить радиус атома. В определении этой величины имеется некоторый произвол, поскольку плотность электронов становится равной нулю только на бесконечности и, следовательно, атом не является объектом,

занимающим хорошо определенную область пространства. Радиусом атома мы называем радиус сферы с центром в начале координат, которая содержит заданную часть (1—а) от Z электронов атома. Согласно этому определению

Обозначим

Рис. 6. Зависимость радиуса от Z атома в теории Томаса — Ферми

Учитывая соотношения (64), (66) и (68), получаем следующее уравнение для функции X:

Это уравнение можно решить численными методами.

При постоянном значении а для всех атомов X будет одно и то же, а радиус атома будет пропорционален

Если то соответствующий радиус

является радиусом сферы, содержащей все электроны, кроме одного. На рис. 6 приведена зависимость от Заметим, что практически не зависит от .