§ 30. Взаимодействие с атомной системой

Рассмотрим взаимодействие излучения с системой частиц. Рассуждения будут подобны тем, которые проводились в случае скалярного поля, и мы выделим здесь только наиболее существенные пункты.

Гамильтониан системы, с точностью до очевидных модификаций, совпадает с гамильтонианом классической теории (см. ур. (211)). Упомянутые изменения связаны с динамическими свойствами и спином рассматриваемых частиц. Мы ограничимся случаем атомной системы, состоящей из Z электронов и ядра с зарядом где заряд электрона.

Предположим, что ядро отсутствует, и напишем гамильтониан системы из Z электронов излучение. Такой гамильтониан дается формулой (211), где соответствует свободному излучению, — кулоновскому взаимодействию электронов и — гамильтониан Дирака для электрона в поле А, т. е.

матрицы Дирака относятся к электрону.

В нерелятивистском приближении, вычитая массу покоя из получаем

Отметим, что слагаемое в (ур. (228)), описывающее взаимодействие электрона с излучением, имеет вид

где — дираковская плотность потока электронов в точке , т. е. (см. ур. (XX. 143))

Величина есть плотность электрического тока для электрона. Подставляя в формулу (230) нерелятцвистское приближение для (ур. (189), (190)), получаем оператор взаимодействия в нерелятивистском приближении

Таким образом, мы пришли к выражению для взаимодей ствия электрона с излучением, которое фигурирует в формуле (229).

Наличие атомного ядра заставляет нас добавить к гамильтониану оператор кулоновского взаимодействия ядра и Z электронов и гамильтониан, описывающий ядро в электромагнитном поле. Последний гамильтониан состоит из двух слагаемых, соответствующих кинетической энергии ядра и взаимодействию с излучением. В нерелятивистском приближении, когда ядро предполагается бесконечно тяжелым, эти два слагаемых пренебрежимо малы, и расположенное в начале координат ядро требует добавления к гамильтониану только Z кулоновских членов . В этом случае атом рассматривается как система, состоящая из Z электронов во внешнем кулоновском потенциале которые взаимодействуют с электромагнитным полем. Соответствующий гамильтониан имеет вид

где — оператор энергии свободного излучения, — гамильтониан электронов во внешнем кулоновском поле ядра с кулоновским взаимодействием между электронами и Н — оператор взаимодействия электронов атома с излучением. Оператор Н равен сумме Z членов взаимодействия (см. ур. (230)).

В дальнейшем мы будем использовать нерелятивистское приближение, и, следовательно, определяется формулами (232) и (233), т. е.

При исследовании такой системы обычно пользуются одним из двух приближенных методов.

В первом методе электромагнитное поле считают классическим. Это предположение оправдано в тех случаях, когда обмен энергией между атомом и полем столь велик по сравнению с энергией каждого испущенного или поглощенного фотона, что можно не учитывать дискретного характера этого обмена. Следовательно, таким приближением можно пользоваться при больших интенсивностях и малых частотах, когда присутствует много фотонов. В частности, метод годится для исследования атома в статическом электромагнитном поле или в поле радиоволнового диапазона. В этом случае электромагнитное поле рассматривается как заданное, возможно, зависящее от времени внешнее поле, и задача сводятся к исследованию атома во внешнем поле.

При втором методе оператор взаимодействия Н рассматривают как малое возмущение. Мы уже пользовались этим методом в случае скалярного поля.

Рассуждения § 10 здесь можно повторить почти дословно. Невозмущенный гамильтониан имеет вид

Для применения теории возмущений нужно использовать представление, в котором оператор диагонален. Воспользовавшись определенным в § 27 представлением плоских волн для электромагнитного поля, мы определим базисные векторы Но как одновременные собственные векторы оператора и операторов числа фотонов с заданным импульсом и поляризацией

Матричные элементы Н в этом представлении легко вычислить, если использовать выражение этого оператора через операторы Подставляя разложение для А (215) в выражение (233), находим

(Чтобы упростить запись, мы ввели обозначения а векторы записали как . Полученные формулы и формулы (235), (235) дают требуемое выражение для Н.

Добавление к гамильтониану оператора взаимодействия Н приводит к сдвигу всех атомных уровней и делает все уровни, за исключением основного состояния, нестабильными (напомним, что масса фотона равна нулю). Эти эффекты можно изучать в рамках теории возмущений. Однако несмотря на малость константы связи здесь встречаются те же трудности, что и в случае скалярного поля. В частности, как следствие локальности взаимодействия Н (см. ур. (230) и (231)) возникает «ультрафиолетовая катастрофа». Эта трудность устраняется из вычислений введением подходящего обрезающего параметра. По тем же причинам, что и выше, в качестве такого параметра выбирают частоту порядка т. Мы уже обсуждали вопросы, относящиеся к введению обрезающего

параметра и к трудностям, которые связаны с необходимостью перенормировки массы и заряда частиц. Весь материал раздела II о сдвиге уровней и свойствах квазистационарных состояний (время жизни, ширина линии, моды распада...) можно без больших изменений перенести на случай взаимодействия с электромагнитным полем. Рассмотренные в разделе II задачи о столкновении можно исследовать в случае излучения теми же методами. Заканчивая эту главу, мы приведем два простых примера применения квантовой теории излучения: вычисление вероятности испускания фотона атомом и вычисление сечения комптоновского рассеяния в пределе низких частот.