Раздел I. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ

§ 2. Вариационная форма задачи на собственные значения

Для определения связанных состояний вариационным методом используется функционал — среднее значение энергии. Справедлива следующая теорема:

Теорема. Пусть Н — гамильтониан квантовой системы и — среднее значение энергии системы

Любой собственный вектор, для которого среднее значение энергии (2) стационарно, есть собственный вектор дискретного

спектра оператора Н, верно и обратное. Соответствующее собственное значение равно стационарному значению функционала

Следует отметить, что речь здесь идет о векторах с конечной нормой: функциональное пространство У (определенное в § 1) есть гильбертово пространство динамических состояний системы. Следовательно, теорема утверждает, что собственные функции Я, принадлежащие гильбертову пространству, являются решениями вариационного уравнения

Заметим также, что функционал не зависит от нормы и фазы вектора а значит, теорема останется справедливой, если на эти величины наложить любое дополнительное условие. В частности, иногда удобно ограничить область изменения векторами с единичной нормой, как это сделано в ряде примеров этой главы.

Доказательство теоремы. Вычислим вариацию

Так как величина остается конечной и не равной нулю, то уравнение (3) эквивалентно следующему:

Вектор есть вариация вектора а -вариация сопряженного к вектора. Следовательно, вариации не независимы. Их можно, однако, считать таковыми. Действительно, заменив в уравнении (4), которое справедливо для любых бесконечно малых на

и образовав подходящие линейные комбинации уравнений (4) и (4), получим два эквивалентных уравнения:

Они эквивалентны уравнению (4), если условиться рассматривать вариации как произвольные и независимые

Получили два уравнения:

или

В силу эрмитовости уравнения (5а) и (56) тождественны. Следовательно, уравнение (3) эквивалентно уравнению (5а): любой вектор для которого функционал Е стационарен, есть собственный вектор Я с собственным значением

Обратно, пусть — собственный вектор с конечной нормой и — соответствующее собственное значение

Умножая это уравнение слева на получаем

Следовательно, вектор удовлетворяет уравнению (5а), а в силу эрмитовости Н и вещественности — и уравнению (56). Отсюда заключаем, что функционал стационарен для

Дополним полученную теорему следующей леммой.

Лемма. Каково бы ни было динамическое состояние системы, среднее значение ее энергии больше или равно энергии основного состояния

Для доказательства этого неравенства достаточно вычислить разность между левой и правой частями в представлении, где Н — диагонален. Предположим для простоты, что спектр Н чисто дискретный. Пусть — уровни энергии, расположенные в порядке их возрастания, а проекторы на соответствующие подпространства. Используя разложение единицы, находим

Так как каждый член в этой сумме положителен или равен нулю, то и сама сумма не меньше нуля, что и доказывает неравенство (6).