§ 18. Инвариантность и законы сохранения классической теории

Релятивистская инвариантность классической теории ведет к ряду законов сохранения. В этом параграфе мы подробно рассмотрим законы сохранения энергии и импульса и кратко упомянем закон сохранения момента импульса и свойства симметрии относительно пространственного отражения и обращения времени. Будем считать для простоты, что исследуемая система состоит только из одной частицы (электрона); обобщение на случай нескольких частиц очевидно.

Для того чтобы получить законы сохранения энергии и импульса, покажем вначале, что определенный формулой (140) 4-вектор равен дивергенции некоторого тензора при условии, что удовлетворяет уравнениям Максвелла — Лоренца. Используя уравнение (139), получаем

Принимая во внимание антисимметрию тензора и уравнение (138), имеем

Подставляя это выражение в правую часть формулы (144) и вводя обозначение

приходим к нужному равенству

Величина называется тензором энергии — импульса. Выпи тем явно его компоненты

Энергия и импульс поля определяются как интегралы по всему пространству

т. е.

A priori не очевидно, что есть 4-вектор. Однако, используя законы сохранения энергии и импульса, это можно доказать.

Для доказательства законов сохранения энергии и импульса запишем уравнение движения частицы в виде

Это уравнение удовлетворяется независимо от области интегрирования V, в предположении, что эта область содержит точку, в которой находится частица. Используя для выражение (146), получаем

Второй интеграл можно преобразовать в интеграл по граничной поверхности объема V. Будем теперь неограниченно увеличивать объем V так, чтобы в пределе получилось все пространство. Считая, а это в данном случае вполне оправдано, что электромагнитное поле достаточно быстро убывает на бесконечности, заключаем, что интеграл по граничной поверхности стремится к нулю и, учитывая определение (148), находим

Это обосновывает принятое выше определение энергии и импульса поля и представляет собой закон сохранения энергии и импульса всей системы как целого (частица + поле)

Аналогичные рассуждения приводят к следующему закону сохранения полного момента импульса:

если для момента импульса поля использовать определение

Если система состоит из нескольких частиц, то П и М нужно заменить на суммы импульсов и релятивистских масс, а — на сумму моментов импульса. После такой замены три закона сохранения (149 а), (149 б) и (150) остаются выполненными.

Рассмотрим отражения пространства и времени.

Уравнения движения инвариантны относительно пространственного отражения если заряд является истинным скаляром, а напряженность поля — истинным тензором. В этом случае преобразуется как скалярная функция, заданная в трехмерном пространстве, — как полярно-векторные поля, как аксиально-векторное поле; в частности, имеем

Уравнения движения инвариантны при обращении времени если заряд считать скаляром, а — «псевдотензором». В этом случае величины не меняются, и меняют знак