§ 12. Обобщение борновского разложения

Для того, чтобы найти поправки высших порядков, необходимо разложить по степеням По аналогии с методом раздела I найдем интегральное уравнение для итерируя которое получим искомое разложение.

Обозначим функцию Грина гамильтониана Н соответствующую энергии и имеющую асимптотику расходящейся волны. По определению, это симметричная функция от удовлетворяющая дифференциальному уравнению в частных производных

с асимптотикой когда фиксировано. Согласно определению

Эта матрица представляет некоторый оператор . В следующем параграфе будет показано, что существует одна и только одна функция , обладающая этими свойствами.

Мы получим интегральное уравнение, следуя методу § 5 и используя эту функцию вместо свободной функции Грина. Уравнение Шредингера для запишем в виде

Заметим, что в силу ур. (80) функция

удовлетворяет «однородному уравнению»

Поскольку эта функция имеет ту же асимптотическую форму, что и она с необходимостью равна Следовательно, удовлетворяет интегральному уравнению

Разложение по степеням легко получить из уравнения (81). Подставляя это разложение в «матричный элемент» правой части уравнения (74), получаем разложение по степеням Если мы оставим только первые два члена этого разложения, то получим приближенное выражение (75).

Функция, комплексно сопряженная к также является функцией Грина для энергии Е. Это функция , которая ведет себя асимптотически как сходящаяся волна. Используя эти свойства, аналогичным методом можно ввести интегральное уравнение

Можно также получить разложение по степеням если в качестве исходного уравнения взять (82) и использовать свой ство (73). Очевидно, что от этого результат не изменится.