§ 12. Доказательство адиабатической теоремы

Уравнение (80) легко бы интегрировалось, если бы можно было пренебречь членом по сравнению с . Тогда мы имели бы тривиальный случай, рассмотренный в § 10. Обозначим решение соответствующего уравнения Шредингера

Имеем (ур. (70))

где определены равенством (71).

Используя определения (77) и (78), мы видим, что не зависят от Т. Следовательно, можно ожидать, что в пределе влияние в правой части уравнения (80) будет полностью подавлено членом и оператор будет стремиться к Как мы увидим, это действительно имеет место, и (см. ур. (79))

Для доказательства этого утверждения введем новое унитарное преобразование

Уравнение, которому удовлетворяет этот оператор, следует из уравнений (80) и (82). В интегральной форме оно имеет вид

где

Мы собираемся показать, что ядро есть сумма осциллирующих функций, частоты которых неограниченно растут с ростом Т и, как следствие, интеграл в правой части уравнения Вольтерра (87) стремится к нулю при

Любой оператор Q допускает разложение

В дальнейшем мы используем обозначение

Используя уравнения (72), (84) и (89), получаем

В силу условия (76) все исчезают и, следовательно, все диагональные части разложения К равны нулю

Недиагональные части содержат осциллирующий множитель

Частота осцилляций получается дифференцированием фазы экспоненты по что дает

Согласно предположению (65) разность никогда в нуль не обращается, и, следовательно, частота растет, как Т, при

Рассмотрим оператор

Все его диагональные элементы в силу (91) равны нулю

Недиагональные элементы имеют вид

Операторы непрерывно зависят от 5 и не зависят от Т. Показатель же экспоненты зависит от Т, и, следовательно, имеет вид где -непрерывная функция, а -непрерывная монотонная функция. Как известно,

такой интеграл стремится к нулю при Действительно, интегрируя по частям, имеем

Ясно, что выражение в скобках остается конечным, если и производные по s от остаются конечными. Следовательно, стремится к нулю, как 1/71, т. е. при

После интегрирования по частям интеграл в правой части уравнения (87) можно переписать в виде

или, используя уравнение

Оба члена в (95) содержат множителем , следовательно, при стремятся к нулю, как , а значит

Подставляя (96) в формулу -определение получаем

Поскольку коммутирует с проекторами (см. ур. (84)), а унитарный оператор обладает свойством (72), имеем

Отсюда и из асимптотики (97) следуют соотношения (68).