§ 14. Упругое рассеяние. Дисперсионная формула

В заключение этого раздела рассмотрим несколько простых задач о столкновении.

Первой задачей будет вычисление сечения упругого рассеяния кванта поля на частице, находящейся в основном состоянии. Пусть — волновой вектор налетающего кванта, вектор той же длины, указывающий направление, в котором квант наблюдается после столкновения. Таким образом, нас интересует процесс

Положим

и обозначим Е начальную энергию системы

Общая формула для сечения имеет вид

где — амплитуда перехода

Падающий поток равен произведению начальной скорости на плотность квантов в состоянии что с учетом принятой нормировки дает . Величина есть плотность конеч; состояний с энергией Е (см. ур. (49)). Таким образом, получаем

При этом мы неявно предполагали, что в рассматриваемом случае применимы все основные формулы теории рассеяния. Так, уравнения (116) и (118) совпадают с уравнениями (XIX. 115) и (XIX. 144) соответственно. Незначительные отличия связаны с выбором обозначений, системы единиц и условий нормировки волновых функций, участвующих в определении амплитуды перехода.

Однако использование этих формул в интересующем нас случае не совсем корректно. При выводе формул предполагалось, что эволюция системы до и после столкновения почти точно описывается гамильтонианом , а оператором взаимодействия можно пренебречь. Такое предположение было оправданным в главах X и XIX, но оно не выполняется здесь.

Рассмотрим, например, состояние системы до столкновения. Частица находится в основном состоянии, а квант описывается волновым пакетом, который движется по направлению к частице. Волновой пакет еще не достиг области в окрестности начала координат, где находится частица. Следовательно, на первый взгляд представляется, что ситуация не отличается от имеющейся в обычной теории рассеяния: взаимодействие кванта с частицей пренебрежимо мало, и движение кванта свободно. Однако оператором Н пренебречь нельзя, поскольку частица, даже находясь достаточно далеко от налетающего кванта, взаимодействует с полем. Поэтому ее начальное состояние не совпадает с собственным состоянием гамильтониана отвечающим энергии , а является собственным состоянием гамильтониана Н, Соответствующая

состоянию энергия была вычислена в § 11, и состояние совпадает с только в пределе

Точная теория должна учитывать отличие «физического состояния» от невозмущенного состояния Если взаимодействие достаточно мало, то это отличие в основном сводится к эффекту перенормировки массы, не влияя на процесс рассеяния

В этом случае применимы обычные формулы теории рассеяния, но с заменой массы М в определении невозмущенного гамильтониана на экспериментально измеряемую массу .

Для вычисления сечения рассеяния будем рассматривать Н как возмущение, и заменим оператор Т борновским разложением (см. ур. (XIX. 143)). Так как амплитуда в первом по рядке равна нулю, то имеем

и необходимо учитывать второй порядок по Н. Амплитуду во втором порядке обозначим

Суммирование во второй строке происходит по всем базисным векторам гамильтониана . Благодаря специфике оператора Н большинство слагаемых в сумме исчезает. Виртуальные состояния, вклад которых отличен от нуля, можно разделить на две категории:

(i) состояния без квантов

состояния содержащие два кванта с импульсами соответственно.

Первые состояния отвечают переходам

в которых частица поглощает налетающий квант прежде, чем испустит квант конечного состояния; вторые отвечают переходам

в которых квант конечного состояния излучается прежде, чем произойдет поглощение налетающего кванта.

Введя частоты Бора

получаем

Воспользовавшись равенствами (69) и (70), в которых мы считаем (что является обоснованным, если ), находим

где

Подстановка полученного выражения в правую часть формулы (119) дает сечение рассеяния во втором порядке борновского приближения

Каждое слагаемое в этой сумме отвечает вкладу одного из упомянутых выше переходов. Этот вклад возрастает с уменьшением разности энергии системы и энергии виртуального состояния, которое соответствует этому переходу. При совпадении этих энергий вклад становится бесконечно большим. Для каждого перехода первой категории существует одно значение когда промежуточное состояние может распасться на частицу в основном состоянии и излученный квант.

При переходе энергии через одно из таких критических значений, например, знаменатель обращается в нуль и меняет знак, слагаемое неограниченно растет и выражение для сечения расходится. Борновское приближение в этой области становится неприменимым

независимо от малости значения константы связи. В действительности, сечение остается конечным, но имеет в этой точке четкий максимум. Как мы увидим ниже, здесь имеет место резонансное явление, аналогичное тому, которое исследовалось нами в главе X (§ 14—16).