Раздел I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

§ 2. Определения

Группа. Множество элементов образует группу, если выполняются следующие условия:

(i) произведение любых двух элементов также принадлежит множеству

(ii) среди элементов множества имеется единичный элемент 1

(iii) каждый из элементов имеет обратный, принадлежащий множеству

(iv) произведение элементов ассоциативно

Конечная группа. Группа, имеющая конечное число элементов называется конечной. Число N называется порядком группы.

Примеры. Группа пространственных отражений есть конечная группа порядка 2. Двумя ее элементами являются тождественный элемент I и отражение относительно начала координат Группа перестановок объектов есть конечная группа порядка

Непрерывная группа. Группа, имеющая бесконечное число элементов, которые зависят от одного или нескольких параметров, называется непрерывной группой.

Примеры. Группа вращений в пространстве группа пространственных трансляций.

Абелева группа. Если все элементы группы коммутируют

то группа называется абелевой, или коммутативной группой.

Примеры. Пространственные отражения, пространственные трансляции, вращения вокруг оси