Раздел V. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ ПРЕДЕЛ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА

§ 28. Большие и малые компоненты

Рассмотрим плоские волны с положительной энергией. Компоненты этих волн приведены в табл. IV. Будем считать, что энергия мало отличается от энергии покоя

Тогда можно воспользоваться нерелятивистским приближением, посквльку кинетическая энергия почти равна и справедливо неравенство

Мы увидим, что в этом случае отличная от нуля компонента соответствует и по величине она значительно больше

компоненты, которая соответствует

Аналогичное утверждение справедливо для сферических волн (см. выражение и для собственных функций атома водорода (см., например, собственные функции, определенные в задаче 10). Все это позволяет предположить, что в нерелятивистском приближении две компоненты спинора отвечающие собственному значению —1 оператора очень малы по абсолютной величине. Следовательно, ими можно пренебречь и теория Дирака становится при этом эквивалентной двухкомпонентной теории.

Чтобы продемонстрировать эту эквивалентность явно, запишем дираковский спинор в виде (157), где Ф и определяются уравнениями (158), (159). Как мы уже отмечали в § 25, величины Ф и можно рассматривать как векторы пространства состояний двухкомпонентной нерелятивистской теории.

В этих обозначениях уравнение Дирака для стационарного состояния с энергией Е в представлении Дирака принимает вид

Введем обозначения:

Определив из уравнения (1806) спинор и подставив его в уравнение (180 а), получим

Уравнения (182)-(183) полностью эквивалентны уравнению Дирака.

В нерелятивистском пределе справедливы соотношения

и из уравнения (182) ясно, что , а отношение этих двух величин порядка Спиноры и Ф называются малыми и большими компонентами соответственно.

Далее в этом разделе мы будем использовать понятие четных» и «нечетных» операторов. По определению:

(i) оператор называется «четным», если все его матричные элементы между малыми и большими компонентами равны нулю (например,

(ii) оператор называется «нечетным», если у него не равны нулю только матричные элементы между малыми и большими компонентами (например,

Это определение эквивалентно тому условию, что оператор коммутирует с , а оператор антикоммутирует с

Любой оператор Q можно однозначно представить в виде суммы «четного» и «нечетного» операторов

Произведение двух «четных» или двух «нечетных» операторов есть «четный» оператор; произведение «четного» оператора на «нечетный» есть «нечетный» оператор.