§ 28. Вариационные вычисления сдвига фаз. Обсуждение

Отправной точкой при вычислении сдвигов фаз вариационным методом служит уравнение (174). Для вычисления функционала в правой части подставляют вместо пробную функцию зависящую от нескольких параметров, и определяют значение получившейся функции, стационарное по отношению к вариации этих параметров. Чем ближе будет пробная функция к точному решению тем ближе будет приближенное значение к точному значению. Как уже указывалось, и в этом заключается основное достоинство вариационного метода Швингера, результат не зависит от нормировки и от значений, которые принимает эта функция в областях, где потенциал V обращается в нуль. Следовательно, для того чтобы этим методом получить близкий к точному ответ, достаточно взять такую пробную функцию, общий вид которой совпадает с формой точного решения в области действия потенциала. Оценка погрешности основана на этих полуколичественных рассмотрениях и является, как и при вариационном вычислении энергетических уровней, в значительной степени эмпирической.

Если мы ограничимся подстановкой в правую часть (174) свободной волны вместо то получим

где

Эта формула a priori точнее формулы борновского приближения (ур. (X. 75)). В пределе, когда , она эквивалентна борцовскому приближению второго порядка, в случае же, когда величина не мала, эта формула, зачастую, значительно точнее.

Для сравнения этих двух методов рассмотрим рассеяние s-волны прямоугольной ямой в пределе низких энергий. Возьмем

Будем вычислять длину рассеяния

используя упомянутые выше методы и сравнивая полученные результаты с точным ответом. Вычисления не представляют труда и, вводя обозначения результаты записать следующим образом:

Критерий применимости борновского приближения выражается неравенством (43), а именно:

(b является мерой глубины потенциала, т. е. числа связанных s-состояний). В табл. I приведены численные результаты, соответствующие четырем предыдущим формулам. Отметим, что остается хорошим приближением для относительно больших значений включая интервал в котором, конечно, борновское приближение не сходится.