§ 10. Основные понятия

Лемма о перенумерации. Если — элементы группы, записанные в определенном порядке, то каждый элемент группы появляется один и только один раз в последовательности которая получается умножением каждого из элементов группы на один и тот же элемент . Эта последовательность состоит из всех элементов группы, расставленных в другом порядке.

(Все свойства данного параграфа следуют из этой леммы.)

Подгруппа группы Если — подгруппа группы порядка то N кратно

Целое число называется индексом подгруппы.

Если — инвариантная подгруппа, то ее индекс равен порядку факторгруппы

Классы сопряженных элементов. Порядок N кратен — числу элементов в любом из классов сопряженных элементов

Элементы из коммутирующие с данным элементом класса образуют подгруппу индекса .

Групповая алгебра. Сумма элементов класса. Линейные комбинации элементов группы где — произвольные комплексные числа, образуют алгебру, которую мы будем называть групповой алгеброй.

элементов групповой алгебры, которые получаются сложением элементов каждого класса, называются суммами элементов класса

Эти L элементов коммутируют со всеми элементами групповой алгебры, и любой другой элемент, обладающий этим свойством, является линейной комбинацией сумм элементов класса.

Алгебра сумм элементов класса. Групповая алгебра является коммутативной только в том случае, когда -абелева группа. Однако линейные комбинации операторов образуют коммутативную алгебру, называемую алгеброй сумм элементов класса или центром групповой алгебры.

(Если группа абелева, то алгебра сумм идентична групповой алгебре.) Имеем

где коэффициенты — целые неотрицательные числа.

Будучи линейно независимыми, сумм элементов класса связаны соотношением (25) и могут быть представлены как функции от меньшего чем числа сумм.

Каждая сумма удовлетворяет алгебраическому уравнению, порядок которого не превосходит