§ 25. Теорема сложения двух моментов импульса

Простейшей задачей является сложение двух моментов. Предположим, что

где — моменты импульса систем 1 и 2, которые вместе образуют исследуемую систему, и предположим, что построена полная система общих собственных векторов

операторов Параметр а обозначает дополнительные квантовые числа, которые необходимы для полного определения динамического состояния, или, если угодно, собственные значения наблюдаемых А, образующих с полный набор коммутирующих наблюдаемых; А коммутируют также с компонентами Предположим к тому же, что векторы (104) образуют стандартный базис по отношению к моментам импульса 1 и 2. Каждому набору квантовых чисел соответствует столько векторов, сколько имеется различных пар эти векторы получаются один из другого последовательным применением операторов по формулам § 6 и натягивают подпространство размерности

Отметим, что коммутируют с . Поэтому будем искать собственные векторы среди общих собственных векторов этих операторов, а значит каждое из подпространств можно рассматривать независимо. Возьмем произвольное и для упрощения записи обозначим векторы этого подпространства а собственные векторы полного момента импульса, находящиеся в этом подпространстве, (предполагая, что задание и М достаточно для определения вектора в дальнейшем покажем, что это так).

В этом параграфе мы определим возможные значения пар и соответствующий им порядок вырождения. Построение собственных векторов будет обсуждаться в § 27.

Решение нашей задачи основано на следующих двух замечаниях:

(а) Каждый вектор является собственным для с собственным значением

Действительно, поскольку имеем

Каждому значению соответствует некоторое число линейно независимых серий из собственных векторов полного момента импульса; векторы данной серии получаются один из другого последовательным применением или и соответствуют возможным значениям

Рис. 3. Возможные значения и их кратность

Отсюда следует, что если обозначить кратность собственного значения М, то

и

Тем самым для определения достаточно найти для каждого возможного значения М. Согласно замечанию равно числу пар таких, что

Для определения этого числа удобно использовать диаграмму рис. 3, на которой каждая пара представлена точкой с абсциссой и ординатой Число равно числу точек, расположенных на прямой Пусть для определенности тогда находим

Подставляя эти значения в (105), получаем

Отсюда следует основная теорема сложения:

В -мерном пространстве, натянутом на векторы фиксированы, меняются):

(i) возможные значения равны

(ii) каждому из этих значений отвечает одна и только одна серия из собственных векторов полного моментй импульса.