§ 13. Квантовая теория распадающихся состояний. Ширина линии

В этом параграфе мы используем квантовую теорию для анализа точной зависимости от времени распадающихся квазистационарных состояний. Мы покажем, что результаты, которые были получены в § 12 с помощью упрощенных рассуждений, в существенном не меняются, и, в частности, распад с очень хорошим приближением имеет экспоненциальный характер. Будут введены также такие важные понятия, как сдвиг уровня и ширина линии.

Предположим, что в начальный момент времени , стема находилась в связанном состоянии, отвечающем собственному значению гамильтониана и рассмотрим изменение? этого состояния с течением времени.

До сих пор мы считали собственное значение невырожденным. Это упрощение потребуется нам при обсуждении результатов, однако приводимые ниже рассуждения применимы также и к случаю вырожденного собственного значения. Обозначим подпространство, натянутое на векторы, которые описывают связанные состояния, отвечающие собственному значению Пусть — проекторы на и его ортогональное дополнение соответственно

Оператор эволюции, как обычно, имеет вид

и наша задача состоит в вычислении для величины .

Введем резольвенту оператора Н

сингулярности которой как функции комплексной переменной совпадают со спектром Н (дискретному спектру соответствуют полюса, а непрерывному спектру — разрез). Справедливо равенство

Операторы и определенные в пространстве соотноше ниями

связаны по формуле

Чтобы получить удобное для работы выражение для воспользуемся соотношениями:

Заметим, что

Из этих соотношений и операторного тождества

следуют равенства

Формула (94) представляет собой соотношение между операторами, действующими в пространстве а именно

где

Из уравнения (95) получаем

Выражения (96), (97) и (91) представляют собой точные соотношения, которые могут служить основой для вычисления

Формулы (96) и (97) определяют как функции комплексной переменной в плоскости с разрезом вдоль непрерывного спектра Н. Нас будет интересовать поведение этих функций в окрестности разреза. Используя соотношение (89), выпишем отдельно эрмитову и антиэрмитову части т. е.

Отметим, что — положительно определенный эрмитов оператор.

В дальнейшем будем предполагать, что собственное значение оператора невырождено.

По предположению система в начальный момент времени находилась в состоянии Требуется определить состояние системы в момент времени

и, в частности, проекцию этого состояния на вектор

Всюду ниже операторы можно заменить их средними значениями по состоянию и рассматривать как числовые функции своих аргументов. Определения (90), (99) и (100) перейдут в

а из уравнений (97) и (91) получаем

где

До сих пор мы не пользовались какими-либо приближениями. Для вычисления будем предполагать взаимодействие слабым и в выражениях (103) и (104) оставим только члены младшего порядка по Н. Это сводится к замене на , после чего величины легко вычисляются. Форма, приведена на рис. 26. При достаточно малых функция имеет четко выраженный максимум около точки и наибольший вклад в интеграл (106) дает окрестность этой точки. Следовательно, можно оценить этот интеграл, подставляя вместо медленно меняющихся функций их значения в точке

что сводится к замене функции (см. рис. 27) на функцию

Рис. 26. Общий вид функции . Заметим, что при

На рис. 27 для функций и Г использовалась зависимость от х, типичная для дипольных переходов

и следующие значения

Ошибка при вычислении не превосходит величины

При достаточно малых по сравнению с вне области больших времен эта величина пренебрежимо мала относительно

После упомянутой выше замены интегрирование проводится несложно и дает в результате

Следовательно,

и мы получили экспоненциальный закон распада.

Величина время жизни — была сосчитана нами в § 12 (см. ур. (84), (85), (104) и (108)).

Как видно из формулы (109), взаимодействие Н привело к изменению временной зависимости для уровня X, а именно, в показателе экспоненты к добавилась комплексная энергия

Рис. 27. Характерный вид функций Функции имеют энергетическую зависимость, типичную для дипольных переходов: На рисунке

Вещественная часть представляет собственно сдвиг уровня, и формула для нее аналогична формуле для сдвига уровня стационарного состояния (см. ур. (71), (103) и (108)). Характеризующая квазистационарное состояние мнимая часть равна, с точностью до знака, полуширине уровня и отвечает за экспоненциальный характер закона распада.

Вычислим другие компоненты состояния в приближении слабой связи, когда отличны от нуля только проекции на состояния, содержащие один и только один квант

Учитывая уравнения (92), имеем

Это точное уравнение. Приближение слабой связи состоит в замене в знаменателе, что дает

Зная приближенное значение матричного элемента получаем приближенное значение соответствующего матричного элемента Для этого используется формула (88), интеграа в которой можно взять по вычетам. Для достаточно больших главный вклад дает полюс на вещественной оси, и мы имеем

Квадрат модуля этого выражения равен вероятности обнаружить систему в состоянии при больших по сравнении с временем жизни значениях времен Квадрат модуля можащ записать в виде

где функция определена формулой (107). Квадрат модуля , в силу указанных выше свойств функции F(x) (см. рис. 27), близок к нулю вне окрестности точки т. е. наблюдаемые переходы в основном сохраняют невозмущенную энергию. Для таких переходов — в рассматриваемом здесь примере это переходы с — мы можем заменит на Таким образом, для переходов как мы получаем формулу

Следовательно, распределение энергии квантов, испущенных в этом переходе, подчиняется закону Лоренца с шириной центром в точке т. е. положение максимума распределения совпадает с боровской частотой перехода при учете сдвига

Таким образом, ширина линии испущенных в радиационном переходе квантов равна величине, обратной к времени жизни (в системе единиц, где в соответствии с соотношением неопределенности энергия — время.

Необходимо сделать несколько замечаний о применимости полученных результатов.

Прежде всего при сравнении закона распределения (114) с данными опыта необходимо указать, как можно

экспериментально приготовить состояние Мы вернемся к этому вопросу в § 15.

Кроме этого, приведенное рассмотрение имеет довольно существенные ограничения. Если воспользоваться численными результатами § 11, то мы увидим, что является величиной того же порядка, что и , следовательно, значительно превосходит расстояние между уровнями. Однако если обозначить вклад, связанный с перенормировкой массы, то можно показать, что разность

является малой поправкой по сравнению с расстоянием между уровнями. Это затруднение в точности совпадает с тем, которое обсуждалось в § 11, и приведенные там рассуждения можно дословно повторить здесь.

Наконец, и это, очевидно, связано с приближением слабого взаимодействия при вычислении амплитуд мы не учитывали сдвиги уровней, на которые происходит переход, и a fortiori тот факт, что некоторые из этих уровней из-за взаимодействия Н сами могут стать квазистационарными.

Для переходов на стационарные уровни или на уровни, время жизни которых больше времени жизни начального состояния, формула корректна при учете упомянутых выше эффектов. Если обозначить уровни, которые получаются при замене в гамильтониане Ячаст параметра М на экспериментально наблюдаемое значение массы, то корректная формула запишется в виде

Результаты, вычисленные по этой формуле, находятся в отличном согласии с экспериментальными данными.