Главная > Квантовая механика, Т.2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 14. Адиабатическое приближение

В предыдущем параграфе мы рассматривали стационарные состояния электронов, когда положение ядер молекулы считалось фиксированным. Предположим теперь, что ядра медленно

движутся согласно некоторому закону Если эти движение достаточно медленное, то динамическое состояние элект» ронов будет адиабатически меняться в соответствии с изменениями потенциала, в котором эти электроны находятся. Так, если в момент времени они находились в состоянии отвечающем уровню энергии состояние описывалось волновой функцией то в момент времени электроны будут находиться в состоянии которое получается из по непрерывности при фиксированном

Условия применимости этого приближения уже обсуждались нами в § XVII. 13 (см. критерий (XVII. 14)). Вероятность найти электроны в состоянии, отличном от , дается формулой

— «угловая скорость» вектора , а — минимальная боровская частота, связанная с уровнем

Для оценки этой величины используем полуклассические рассуждения из § 12. Расстояние между электронными уровнями дается формулой (34), откуда получаем

Прежде чем вычислять оценим норму считая функцию вещественной и нормированной на 1. Мы знаем, что для отделения атома от молекулы необходимо соответствующее ядро переместить на расстояние порядка а от его положения равновесия, т. е. необходимо изменить координату X на чтобы функция перешла в функцию, ортогональную исходной. Следовательно, приблизительно равна этой новой функции, поделенной на а, и имеет норму порядка

По определению равна норме (вещественной) функции . Если — скорость изменения то равна норме функции и имеет порядок

Если кинетическую энергию ядра обозначить то получим

Подставляя (45) и (47) в (44), находим

Приведенный полуклассический анализ может служить основой при отыскании стационарных состояний молекулы. Рассмотрим задачу на собственные значения гамильтониана Н. В силу равенств (39) и (40) имеем

Если членом кинетической энергии ядер 7V можно было бы пренебречь, то гамильтониан молекулы был бы равен и каждое стационарное состояние соответствовало бы определенному электронному квантовому числу и определенной конфигурации ядер X. Положения ядер X оставались бы фиксированными, а движение электронов описывалось бы волновой функцией Слагаемое связывает собственные векторы отвечающие соседним конфигурациям X.

В адиабатическом приближении связью между векторами с различными электронными квантовыми числами пренебрегают и считают хорошим квантовым числом

В этом случае собственные векторы Я являются линейными комбинациями векторов с определенным значением , следовательно, имеют вид

где — произвольная функция X. В -представлении таким векторам соответствуют волновые функции вида

Собственные функции гамильтониана Я в этом приближении можно получить, используя вариационный метод и функции в качестве пробных функций. При этом пробная функция варьируется в подпространстве пространства векторов состояния, а именно, в пространстве векторов вида (51). Как известно (§ 3), в этом случае мы получаем уравнение на собственные значения в этом подпространстве а в данной ситуации — уравнение Шредингера для неизвестной функции Гамильтониан этого уравнения, который мы обозначим равен проекции Н на Он действует только на динамические переменные ядер. Собственные знзчения представляют собой уровни энергии молекулы относительно электронного квантового числа

Полученную при этом погрешность можно оценить, используя рассуждения, которые были приведены в начале этого параграфа. Пусть некоторое из приближенных решений, а — соответствующее точное решение. Оба решения предполагаются нормированными на единицу. Разность описывает отклонение точного решения от адиабатического предела. Этот вектор лежит в основном вне подпространства и имеет норму, которая равна определенной выше величина Учитывая приближенное равенство (48), получаем

Другими словами, имеем

где Ф — функция, ортогональная подпространству с нор мой 1. Поскольку функционал

стационарен на решении вычисление энергии с функцией содержит ошибку второго порядка по отношению к отклонению т. е.

Сравнивая это с формулой (38), получаем оценку

Следовательно, адиабатическое приближение при определении молекулярной волновой функции приводит к ошибке рядка (ур. (53)) и к ошибке при определении энэогии, которая в раз меньше расстояния между вращательными уровнями (ур. (54)).

1
Оглавление
email@scask.ru