§ 29. Теория Паули как нерелятивистский предел теории Дирака

Вернемся к системе уравнений (182) — (183). Если пренебречь малыми компонентами, то в нормировке волновой функции мы получим ошибку порядка Ошибка того же порядка возникает, если в уравнении (183) оператор М заменить массой т. В этом приближении уравнение (183) принимает вид уравнения на собственные значения

для гамильтониана

который действует на двухкомпонентную волновую функцию Уравнение (186) определяет энергию с точностью до

Чтобы привести оператор к более привычному виду, воспользуемся тождеством (XIII. 83) и учтем некоммутативность компонент векторного оператора я:

Отсюда следует, что

Мы получили гамильтониан теории Паули для частицы с массой зарядом и внутренним магнитным моментом где — магнетон Бора.

Таким образом, теория Дирака не только предсказывает существование внутреннего магнитного момента, но и дает его правильное численное значение (§ XIII. 18). Это одно из наибольших достижений теории.

Для доказательства эквивалентности теории Дирака в рассматриваемом здесь приближении двухкомпонентной теории Паули мы должны указать операторы, соответствующие операторам теории Дирака, но действующие только в подпространстве больших компонент.

Это можно сделать, если в вычислениях с интересующими нас операторами участвуют только их матричные элементы между состояниями с положительной энергией, близкой к массе покоя. Последнее условие необходимо для обоснования нерелятивистского приближения.

В случае четного оператора матричный элемент представим в виде суммы

Второе слагаемое имеет порядок по сравнению с первым и в рассматриваемом здебь приближении им можно пренебречь. Тем самым оператор можно заменить его проекцией на подпространство больших компонент. Эта проекция в нерелятивистской теории Паули описывает физическую величину, которая в теории Дирака задается оператором

Для нечетного оператора имеем

Малые компоненты входят в каждое слагаемое этой суммы. Однако в силу уравнения (182) и нерелятивистского приближения справедливы равенства

Следовательно, оператор можно заменить проекцией на подпространство больших компонент оператора

Так, «скорость» можно заменить действующим в пространстве больших компонент оператором

Аналогично плотность потока в точке

можно заменить оператором

или, используя тождество (XIII. 83),

Мы видим, что электрический ток теории Дирака в этом приближении представляется суммой из двух слагаемых. Первое, совпадает с током теории Шредингера (см. задачу IV. 1). Чтобы найти интерпретацию второго слагаемого, рассмотрим его матричный элемент между

Это ток, связанный с магнитным моментом, и величину

можно интерпретировать как плотность магнитного момента. Мы увидим, что дивергенция этого тока обращается в нуль и он не дает вклада в уравнение непрерывности.