§ 30. Приложение: сверхтонкая структура и диполь-дипольная связь
Рассмотрим электрон в электрическом поле атома, которое описывается некоторым электростатическим потенциалом 
и исследуем эффект, к которому приводит дополнительное поле, создаваемое магнитным моментом М. ядра. Магнитный диполь М, расположенный в начале координат, порождает поле, которое можно представить векторным потенциалом,
Такое поле ведет к дополнительному слагаемому 
в гамильтониане Дирака.
Для определения влияния этого поля в нерелятивистском приближении можно вычислить нерелятивистский предел оператора 
, используя метод предыдущего параграфа. Можно также рассмотреть те изменения в гамильтониане Паули (188), к которым приводит наличие М. Оба подхода эквивалентны и мы воспользуемся вторым.
Если мы учтем только линейные по М члены, то гамильтониан Паули будет содержать два дополнительных слагаемых
где — поле, порожденное диполем М.
Слагаемое 
представляет собой спин-орбитальное взаимодействие (спин ядра и орбита электрона). Поскольку 
(см. ур. (191)), то
Подставляя в правую часть выражение (191) и вспоминая 
ределение орбитального момента электрона 
, полу чаем
Слагаемое 
представляет собой спин-спиновое или диполь-дипольное взаимодействие. Вычислим это слагаемое, используя формулу (191),
Если 
, то дифференцирование легко выполнить и получить
Выражение (193), как функция 
имеет в начале координат особенность порядка 
Чтобы определить действие оператора 
применим его к регулярной функции 
и проинтегрируем это произведение по малой окрестности точки 
Для этого запишем 
в виде
Второй член в этом выражении является тензорным оператором второго порядка в пространстве функций от 
Если функцию 
разложить по сферическим функциям, то после интегрирования по углам останутся только коэффициенты при сферических функциях второго порядка. Эти коэффициенты обращаются в нуль в начале координат не медленнее, чем 
, следовательно, вклад второго члена в выражение (193), несмотря на сингулярность 
также обращается в нуль в начале координат. Используя тождество 
первый член можно записать в виде 
Таким образом, для любого 
вклкь 
и начало координат, справедливо равенство
Равенства (192) и (194) получены в нерелятивистском пределе и позволяют определить сверхтонкую структуру атомных уровней с точностью до 
. В частности, вклад s-электронов в сверхтонкую структуру дается контактным членом 
