§ 12. Вращение наблюдаемых

Кроме вращения исследуемой системы, можно вращать также приборы, с помощью которых производятся наблюдения над ней. Выше мы определили закон преобразования векторов состояния, определим теперь закон преобразования наблюдаемых, представляющих различные измерительные операции, которые можно выполнить над системой.

Пусть — наблюдаемая, — ее преобразование при вращении .

По физическому смыслу с наблюдаемой связана некоторая операция измерения, и преобразование в соответствует вращению измеряющего прибора. Следовательно, среднее значение при измерении для системы в состоянии равно среднему значению при измерении для системы в состоянии т. е.

Так как , предыдущее равенство можно переписать в виде

Из того, что оно справедливо для любого имеем (ср. § VII. 5)

или

Другими словами, при вращении наблюдаемые преобразуются под действием того же унитарного оператора, что и векторы состояний.

В частности, если наблюдаемая 5 является скалярной величиной, т. е. инвариантна относительно вращений, то для любого

Поскольку оператор — унитарный, это равенство можно переписать так:

Следовательно, инвариантная относительно вращений наблюдаемая коммутирует со всеми операторами вращений.

Другой интересный случай представляют векторные операторы. Будем использовать обозначения § 10 и дополнительно буквой К обозначим векторный оператор с компонентами . Если подействовать вращением на оператор — компоненту К по оси , то получим оператор — компоненту К по оси . В общем случае , где итак

Получили закон преобразования декартовых компонент векторного оператора К

Отметим, что в отличие от закона (43) здесь фигурирует матрица — обратная матрице компоненты К преобразуются при вращении 31 так же, как компоненты вектора при вращении