Раздел IV. СПИН

§ 18. Гипотеза спина электрона

Теория Шредингера, вытекающая из простого применения принципа соответствия, не может объяснить свойств сложных атомов, даже оставляя в стороне релятивистские поправки. Необходимы две важные модификации, причем ни одна из них не имеет каких-либо аналогий в классической механике, которые позволили бы предсказать их существование. Одна из этих модификаций заключается в выборе только тех решений уравнения Шредингера, которые обладают определенными свойствами симметрии относительно перестановки координат электронов. Это требование известно как принцип Паули и будет рассматриваться в главе XIV; при нижеследующем изложении оно может быть опущено. Другая модификация — гипотеза спина электрона.

Основное экспериментальное подтверждение этой гипотезы следует из анализа поведения сложных атомов в магнитном поле (эффект Зеемана, эксперимент Штерна — Герлаха).

Уравнение Шредингера для атома с Z бесспиновыми электронами уже было приведено выше (ур. (11.30)). Если считать ядро бесконечно тяжелым, а его положение совпадающим с центром масс, то гамильтониан в системе центра масс имеет простой вид

Для того чтобы получить гамильтониан того же атома, помещенного в статическое магнитное поле, которое описывается потенциалом достаточно заменить в выражении (71) каждое на . В частности, для постоянного магнитного

где квадрат проекции на плоскость, перпендикулярную полю . Тогда получаем

L - полный момент импульса Z электронов: . Для явлений, которые мы будем рассматривать, вклад третьего члена в этом выражении для гамильтониана пренебрежимо мал. Итак, с очень хорошей точностью имеем

Мы получили такой ответ, как если бы каждый электрон, вращаясь по своей орбите, индуцировал магнитный момент

пропорциональный своему моменту импульса с константой пропорциональности (гиромагнитное отношение), в точности равной величине , которую дает классическая теория этого эффекта. При такой интерпретации полный магнитный момент атома равен сумме Z индивидуальных магнитных моментов, т. е.

и энергия атома в поле отличается от его энергии при отсутствии поля на величину магнитной энергии —

Ряд замечательных свойств можно получить просто из рассмотрения выражения (72), если принять во внимание, что будучи инвариантным по отношению к вращениям, коммутирует с каждой из компонент оператора

Направим вектор по оси Операторы имеют общий набор собственных векторов а соответствующие собственные значения не зависят от М и -кратно вырождены.

Согласно равенству (72) Я является функцией , следовательно, имеет тот же набор собственных векторов, а собственное значение оператора Я, отвечающее вектору равно

где мы положили

Рис. 2. Эффект Зеемана для -состояния ; слева — уровень энергии при нулевом поле, справа — уровни энергии при

Так как М может принимать все целые значения от до то каждый уровень под действием магнитного поля расщепляется на различных эквидистантных уровней, распределенных по закону (73). Итак, мы можем сделать следующие теоретические предсказания (рис. 2):

(i) каждый уровень атомного спектра в постоянном магнитном поле расщепляется в «мультиплет» из эквидистантных уровней;

(ii) уровни располагаются по обе стороны от таким образом, что их среднее расстояние от равно нулю;

(iii) расстояние между двумя соседними уровнями равно величина, не зависящая от рассматриваемого атома и пропорциональная .

Эксперимент лишь частично подтверждает эти теоретические предсказания. Имеется два важных отклонения:

а) в атомах с нечетным Z все мультиплеты четные и дело обстоит так, как если бы было полуцелым;

б) расстояние между соседними уровнями в одном мультиплете равно где множитель (множитель Ланде) меняется в зависимости от мультиплета в довольно широких пределах.

Существование полуцелого момента импульса непосредственно устанавливается в эксперименте Штерна — Герлаха (§ I. 10). Поскольку почти все атомы, составляющие пучок, находятся в основном состоянии, число наблюдаемых на экране пятен равно кратности вырождения основного состояния. Для атомов серебра мы наблюдаем всего два пятна, следовательно, основное состояние атома серебра двукратно вырождено, что соответствует моменту импульса . В более общем случае атомы с нечетным Z всегда дают четное число пятен — результат, характеризующий полуцелый момент импульса.

Свойства а) и б) встречаются вместе при изучении аномального эффекта Зеемана; спектральные данные позволяют в общем случае одновременно определить кратность состояний, между которыми происходят оптические переходы, и соответствующие — множители Ланде.

Чтобы устранить эти затруднения, необходимо ввести полуцелый момент импульса и гиромагнитные отношения, отличные от Все это очень просто осуществляется, если принять гипотезу спина электрона (Уленбек и Гоудсмит, 1925):

Каждый электрон обладает внутренним моментом импульса или спином равным (спин ), с которым связан магнитный момент

где — определенная константа. Согласие теории с экспериментом достигается, если положить

Релятивистская теория электрона (гл. XX) позволяет вывести это значение

Эксперименты показывают, что нуклоны (протоны и нейтроны) также обладают спином который можно определить непосредственным измерением связанного с ним магнитного момента.

В оставшейся части этого раздела мы изложим нерелятивистскую теорию частиц спина (теорию Паули).