§ 26. Многократное рассеяние

Рассмотрим процесс при котором атомы 1 и 2 переходят из основного состояния в возбужденные состояния

Обозначим сечение этого процесса

Поскольку при переходе меняются квантовые состояния обоих атомов, вклад от членов простого рассеяния Ту и обращается в нуль и нам следует воспользоваться разложением для Т вплоть до второго порядка. Это дает

где

На рис. 20 изображены диаграммы для этих амплитуд двукратного рассеяния.

Рис. 20. Диаграммы амплитуд двойного рассеяния.

Вычислим вначале . Чтобы воспользоваться условием , вычисления будем проводить в представлении Используя коммутативность операторов находим

где

В последнем выражении положительная величина определяется из уравнения

Мы будем использовать также вектор

В силу свойств оператора функция в существенном отлична от нуля только в области с линейными размерами порядка а и центром в начале координат. Аналогичным образом функция в существенном отлична от нуля в такой же области, но с центром в точке Следовательно, в интеграле (158) мы можем заменить первым членом его разложения по степеням Возникающая при этом ошибка в вычислении имеет порядок Поскольку

имеем

Подставляя выражения (159), (160) и (162) в правую часть (158) и выполняя интегрирования, находим

Точно так же, определяя вектор следующим образом:

получаем для выражение (с ошибкой порядка )

Отметим, что стоящие в выражениях (163) и (164) матричные элементы соответствуют переходам, сохраняющим энергию. Воспользовавшись соотношениями (150) и (151), мы можем выразить в терминах амплитуд перехода при неупругом рассеянии на одном атоме. То же верно и для сечения процесса поскольку

Произведя соответствующие вычисления, приходим к следующему результату:

Вычисление интерференционных членов мы предоставляем читателю. Символ в этом выражении обозначает сечение неупругого рассеяния частицы на атоме

Два первых члена в формуле (166) в точности совпадают с теми, которые получаются при элементарном классическом рассмотрении. Рассуждая классически, двукратное рассеяние можно представлять себе двумя способами: либо частица вначале неупруго рассеивается на атоме 1 в направлении атома 2, а затем неупруго рассеивается на атоме 2 в конечном направлении, либо вначале рассеивается на атоме 2 в направлении атома 1, а затем — на атоме 1. Сечения этих двух процессов участвуют в качестве первого и второго слагаемых в выражении (166). К ним следует добавить члены, отвечающие интерференции двух типов рассеянных волн. Относительно этих членов можно сделать те же замечания, что и в § 25. Их наблюдение возможно, если разрешающая способность детектора достаточна для различия углов, разность которых имеет порядок

Если , то амплитуды рассеяния при отклонениях, превышающих практически равны нулю и существенны только сечения рассеяния вперед. Следовательно, как легко деть из уравнений (163)-(165), двукратное рассеяние возможно только в том случае, когда прямая, на которой расположены атомы, с точностью до совпадает с направлением движения налетающей частицы, т. е. когда или первом случае величина пренебрежимо мала, а величина отлична от нуля при малых отклонениях, т. е. при с точностью до частица вначале рассеивается на атоме 1, а затем — на атоме 2 в направлении, почти совпадающим с первоначальным. Во втором случае порядок столкновений противоположный. На этих результатах основано наблюдение «траектории» ионизованных частиц в камере Вильсона (см. сноску на стр. 144 тома 1).