§ 13. Адиабатическое приближение

Если Т достаточно велико или, точнее, если образующие базис собственные векторы оператора вращаются достаточно медленно, то в первом приближении можно заменить его асимптотикой

Это и есть адиабатическое приближение.

Пусть — нормированный вектор, представляющий состояние системы в момент времени — проектор на дополнительное подпространство. Адиабатическое приближение состоит в следующей замене:

Величина погрешности при таком приближении дается вероятностью найти систему в момент времени в состоянии, отличном от Поскольку проектор на пространство, ортогональное этому вектору, равен

получаем

Поправки к адиабатическому приближению можно вычислить методом теории возмущений из § 1. Оператор играет роль — роль . Метод заключается в сохранении только начальных членов разложения которое получается итерированием уравнения (87). Если ограничиться только первым порядком, то получим

где — оператор определенный равенством (92).

Это разложение можно использовать также и для вычисления Аналогично вычислению 3 в случае мгновенного приближения, имеем

где — средне-квадратичное отклонение наблюдаемой в состоянии Условие применимости адиабатического приближения дает

В приведенной здесь общей форме этот результат не так удобен для использования, как соответствующий результат в случае мгновенного приближения (соотношение (61)). Фигурирующую здесь наблюдаемую построить гораздо труднее, чем наблюдаемую Н из предыдущего случая. В то время как Н получается просто интегрированием для вычисления необходимо решить задачу на собственные значения для каждой точки из интервала и для каждой точки построить оператор

Проверим условия применимости адиабатического приближения в случае, когда система первоначально находилась в собственном для состоянии. В действительности, только этот случай и представляет практический интерес.

В дальнейшем будем использовать непосредственно переменную не переходя к Обозначим собственные значения гамильтониана в момент времени соответствующие проекторы оператор «перехода к повернутым осям» — и -оператор Тогда определения (67) и (84) изменяются

Определяющие уравнения (73) и (74) примут вид

где

Согласно определению (92) находим

Дополнительно, для простоты, предположим, что спектр простой (не вырожден). Выберем множество базисных

векторов гамильтониана и обозначим множество базисных векторов которые получаются из предыдущих действием оператора Для любого

Пусть — вектор состояния системы в момент . В адиабатическом приближении ее вектор состояния в момент с точностью до фазового множителя будет равен

Вероятность найти систему в другом собственном состоянии оператора по определению, равна

Вычисление по теории возмущений дает

В согласии с формулой (100) имеем

Используя уравнения (102), (104), (105) и свойства (106) вектора находим

где

Отсюда и из формулы (108) следует

Физическая интерпретация величин следует непосредственно из определений (109) и (110): - частота

Бора» перехода характеризует скорость вращения собственных векторов она равна компоненте вдоль скорости вращения оси

Подынтегральное выражение в правой части (111) равно произведению функции на осциллирующую с частотой экспоненту. Если не зависят от времени, то получаем

Следовательно, величина имеет порядок Если же зависимость от времени достаточно гладкая, то не превосходит по порядку величины максимального значения отношения на интервале

Точно так же по порядку величины не больше значения, получающегося суммированием правой части неравенства (112) по всем отличным от Обычно эта сумма не превосходит от ношения где — наименьшее значение воровской частоты перехода из состояния в ближайшее по энергии состояние, — максимальное значение положительной величины определяемой равенством

Возвращаясь к определению (109) и замечая, что

видим, что есть длина вектора т. е. «угловая скорость» вектора Следовательно, в большинстве случаев

ловие выполнено, если

Условие (114) можно рассматривать как критерий примени мости адиабатического приближения. В действительности оно слишком ограничительно, хотя имеет то преимущество, что с ним довольно просто обращаться. Следует отметить, в частности, что для вычисления или которые фигурируют в правой части (112), нет необходимости знать достаточно только решить задачу на собственные значения и определить с точностью до фазового множителя векторы кроме того, можно показать, что

(см. задачу 6).