§ 13. Функция Грина искаженных волн

Остается еще доказать существование функций Грина Мы покажем, что при естественном обобщении уравнения (62) их можно определить как пределы резольвенты оператора

Аналогично для каждого значения Е можно связать с гамильтонианом Я функции

Рассмотрим вначале операторы и покажем, что

Для произвольного вектора конечной нормы, очевидно, имеем

Норма второго члена в правой части равна

Последнее выражение получается, если использовать представление, в котором диагонален гамильтониан норма компоненты с энергией Е. При в силу известного свойства -функции интеграл стремится к Таким образом, норма в этом пределе исче» зает. Следовательно, при уравнение (86) дает

Поскольку это верно для любого (конечной нормы), то имеем

Остальные соотношения (85) можно доказать таким же способом. Аналогичным образом имеем

Уравнения (85) и (87) показывают, что и являются соответствующими функциями Грина операторов при энергии Е. В -представлении они сводятся к дифференциальным уравнениям в частных производных, характеризующим функции Грина; так, первое из уравнений (87) дает уравнение (80).

В предыдущем доказательстве мы аккуратно проделали предельный переход поскольку он играл решающую роль. В дальнейшем мы не будем придерживаться такого уровня строгости и, следуя соглашению со стр. 310, часто будем заменять на где вещественная положительная бесконечно малая величина.

Поступая так же как в начале § XVI. 16, получим фундаментальные тождества

Аналогичные тождества получаются и при замене на Н и V соответственно, или при замене на и V.

Из тождеств (88) следуют соотношения:

Теперь уравнение (63) можно записать в виде

Действуя оператором на обе части этого уравнения и используя (89а) для упрощения левой части, получаем важную формулу

Так как Н эрмитов, то, очевидно, имеем

Следовательно, сопряженным уравнением к уравнению (90) будет

Теперь мы в состоянии получить асимптотическое поведение из асимптотического поведения соответственно. Если вектор достаточно быстро убывает на бесконечности, то из (886) имеем

где

Если вектор также достаточно быстро убывает на бесконечности, то можно использовать уравнение (61). Получим

Оператор действуя на вектор гильбертова пространства, будет давать в общем случае вектор, который ведет себя асимптотически, как чисто расходящаяся волна, а оператор — вектор, ведущий себя асимптотически, как чисто сходящаяся волна. Заменяя в правой части (93) его определением и используя тот факт (ур. (91)), что

находим

Следует отметить, что в асимптотическом выражении для появилась именно волна , а в выражении для — волна .

Операторы обладают аналогичными свойствами, а именно, их асимптотическое поведение таково:

Если сферически симметрично, то функции Грина легко выразить в терминах решений радиального уравнения (78). Находим (задача 4)

где соответственно меньшая и большая из двух длин были определены в § 11. Функции представляют собой нерегулярные решения уравнения (78), которые имеют асимптотическое поведение:

Явные выражения (96), как легко видеть, имеют характерные для свойства.