§ 7. Сферические волны. Определение момента импульса

В качестве базисных функций часто используются плоские волны. Столь же часто, вероятно, используются и сферические волны. В последнем случае базисные функции равны

и зависят от непрерывного индекса и двух дискретных индексов Для того чтобы иметь дело только с дискретными индексами, можно предположить, что поле содержится внутри сферы радиуса и потребовать обращения базисных функций в нуль на поверхности сферы. Формулы для случая неограниченного пространства получаются предельным переходом

Используя новые базисные функции, можно повторить все рассуждения предыдущего параграфа. Таким образом, вводятся операторы уничтожения и рождения частицы в состоянии, описываемом сферической волной

Можно показать, что сферические волны отвечают одночастичным состояниям с определенным моментом импульса, точно так же как плоские волны отвечают одночастичным состояниям с определенным импульсом. Для полного момента импульса поля получаем выражение

где I есть оператор действующий на функцию Ф

Можно использовать также эквивалентное выражение

Операторы и интерпретируются соответственно как операторы уничтожения и рождения частицы с энергией и моментом импульса Кроме этого, операторов отвечающие данному значению I и образуют стандартные компоненты неприводимого тензорного оператора порядка операторов образуют с точностью до порядка и знака стандартные компоненты эрмитово-сопряженного тензорного оператора (определение § XIII. 30).