§ 17. Вычисление собственных значений и собственных функций

Искомые собственные значения и собственные векторы Н совпадают с собственными значениями и собственными векторами оператора в пространстве дискретной части и непрерывной части, последняя располагается справа от дискретной части и тянется вплоть до бесконечности, для которого Р — проектор. Поскольку вид Р и известен, задача свелась к диагонализации матрицы в пространстве размерности Коневы рожденный случай: . В этом случае собственный вектор Н равен Разложение для квадрата его нормы легко получается из разложения оператора Р. Собственные векторы и построенный в разделе пропорциональны друг другу; легко показать, что норма последнего равна

Собственное значение определяется из уравнения Поскольку имеем

или

Так как каждый член в содержит по крайней мере один оператор и так как, в силу известного свойства следа, справедливо тождество

то легко преобразовать к виду среднего значения от некоторого оператора по невозмущенному состоянию Первые члены разложения равны

что согласуется с результатами раздела

Вырожденный случай: . Вместо того чтобы решать задачу на собственные значения оператора в , ее можно заменить аналогичной задачей диагонализации в

Допустим, что любой вектор из подпространства можно рассматривать как проекцию в некоторого вполне определенного вектора из (это предположение неявно использовалось в невырожденном случае). Поскольку и имеют одинаковую размерность, проектор Р устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторами из можно

также показать, что и проектор устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторами Это условие «неортогональности» двух подпространств, очевидно, выполняется при достаточно малых

Таким образом, каждый собственный вектор Н в можно представить в виде и справедливо уравнение

Необходимым и достаточным условием такого равенства между векторами является равенство их проекций в

Обозначив

перепишем предыдущее уравнение в виде

Операторы можно рассматривать как эрмитовы операторы в пространстве. Уравнение (76) есть обобщенное уравнение на собственные значения. Собственные значения — решения секулярного уравнения (см. § VII. 17)

они являются искомыми значениями энергии, а проекции соответствующих собственных векторов в будут собственными векторами Н.

Разложения легко получаются из разложений и Р соответственно (ур. (69) и (72))

Для того чтобы получить собственное значение с точностью до данного порядка, разложения На и обрывают на том же порядке.

Результаты данного порядка, полученные таким методом, могут отличаться от результатов элементарной теории раздела II, но на величины высшего порядка. В первом порядке результаты обоих методов в точности совпадают. Сравнивая эти результаты, нужно также помнить, что вектор отличается от вектора элементарной теории, последний равен пределу при .

Метод, очень близкий к методу Като, но приводящий к более простым разложениям, был сформулирован Блохом . В основе этого метода лежит тот факт, что оператор определяемый равенствами

имеет простое разложение

где означает суммирование по всем наборам неотрицательных целых чисел удовлетворяющих условиям

Отметим, что Действие на вектор пространства дает вектор из проекция которого в а есть исходный вектор.

Согласно определению уравнение (75) эквивалентно следующему:

которое в методе Блоха играет ту же роль, что и уравнение (75) в методе Като. Это обычное уравнение на собственные значения для неэрмитова оператора в пространстве Собственные значения и являются искомыми значениями энергии; соответствующие собственные векторы есть проекции на собственных векторов оператора Н, которые получаются действием оператора Разложение легко следует из разложения если вспомнить, что

Несколько первых членов равны

Видно, что они проще членов разложений (ур. (77) и (78)).

В невырожденном случае энергия равна

откуда немедленно получаем коэффициенты ее разложения

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)