§ 8. Упругое рассеяние электронов на атоме
В качестве приложения рассмотрим упругое рассеяние заряженной частицы на атоме. В принятой нами упрощенной трактовке атом рассматривается как распределение электрических зарядов. Вычислим в борновском приближении сечение рассеяния заряженной частицы на потенциале, создаваемом этим распределением зарядов. Метод даст правильное сечение, если мы будем работать в области, где борновское приближение
справедливо (см. § 21). Будем считать для определенности, что налетающей частицей является электрон. Естественно было бы учесть эффект обмена налетающего электрона с электронами атома. Однако для энергий, при которых справедливо борновское приближение, такой эффект дает лишь малые поправки, поэтому мы им пренебрегаем.
Атом, по предположению, будем считать нейтральным. Обозначим атомный номер 
а плотность электронов — 
Электрический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона
На электрон действует потенциал
который удовлетворяет аналогичному уравнению. Совершив преобразование Фурье, получаем соотношение
которое связывает функцию 
(определение (25) или (27)) и функцию
Используя (47), получим сечение в борновском приближении (ур. (26))
Функция 
называется форм-фактором плотности электронов. Ее общую форму можно легко получить из 
. В частности, имеем 
Пусть а — радиус атома, т. е. среднее расстояние электронов от ядра. Тогда функция 
в существенном отлична от нуля лишь в области 
Например, если плотность электронов определена функцией
то форм-фактор равен
Когда 
т. е. для больших углов рассеяния,
форм-фактор практически исчезает 
и формула (49) сводится к формуле Резерфорда, дающей сечение рассеяния только на ядре. Влияние электронов атома при этом пренебрежимо мало.
Их влияние становится существенным, если 
Следовательно, эффект экранировки значителен для малых углов
Это согласуется с классической картиной, в которой малые углы рассеяния соответствуют большим придельным параметрам.
В заключение проверим справедливость борновского приближения.
Радиус действия потенциала имеет порядок а. Оценка, использующая модель Томаса — Ферми, дает
За среднее значение потенциала можно принять величину кулоновского потенциала ядра при 
В дальнейшем мы используем привычные обозначения
так что
Критерий (41) требует, чтобы 
, следовательно, никогда не реализуется. Таким образом, борновское приближение оправдано лишь для достаточно больших энергий. В этой области 
, т. е. для 
критерий (43) требует 
Итак, борновское приближение справедливо лишь при достаточно высоких энергиях, для которых 
. В этом случае эффект экранировки существен лишь при очень малых углах и становится практически неощутимым вне области, определяемой неравенством (50), т. е. вне области 
. Экспериментальное определение форм-фактора возможно посредством точных измерений углового распределения при малых углах и больших энергиях и последующего использования формулы (49).
