§ 22. Вещественный гамильтониан, инвариантный относительно вращений
Если гамильтониан Н обладает другими свойствами симметрии помимо обращения времени, то результаты предыдущего пункта остаются справедливыми, хотя в значительной степени теряют свой интерес. Вигнер систематически изучал свойства Н в случае, когда:
(i) Н веществен: 
;
(ii) Н инвариантен относительно преобразований группы линейных преобразований: 
;
(iii) преобразования 
коммутируют с обращением времени: 
Мы рассмотрим здесь только случай, когда группой инвариантности является группа вращений.
Пусть 
— оператор вращения на угол 
вокруг оси у (не следует смешивать этот оператор с введенным выше оператором 
вращения одних только спинов). Положим
Операторы 
коммутируют с 
и антикоммутируют с 
Следовательно, 
коммутирует с 
Этот оператор коммутирует также с 
Более того, поскольку 
(ср. соотношение (88)), то
Антиунитарное преобразование 
можно рассматривать как комплексное сопряжение, точно так же как рассматривалось К в § 19. Для того чтобы различать 
и К, мы будем использовать кавычки для нового типа сопряжения. Таким образом, «вещественный» (линейный) оператор — оператор, коммутирующий с 
. Вектором, «комплексно сопряженным» к вектору 
будет, по определению, вектор 
Поскольку 
то «вещественные» векторы и «вещественные» представления существуют. Действие «вещественного» оператора на «вещественный» вектор дает «вещественный» вектор. В «вещественном» представлении «вещественный» оператор описывается вещественными матрицами.
Поскольку 
— «вещественные» операторы, мы можем построить базис в пространстве момента импульса 
все векторы которого «вещественны». Поскольку 
также «вещественны», то и векторы стандартного базиса, который может быть построен из этих векторов методом, развитым в § XIII. 6, также все «вещественны».
Пусть 
-векторы «вещественного» стандартного базиса. Если Я инвариантен относительно вращений и отражения времени, то он коммутирует с 
и описывается в представлении 
вещественной матрицей вида (52), т. е.
с вещественными 
Отсюда следует наличие вращательного вырождения и существование у Н по крайней мере одной ортонормированной системы собственных векторов, образующих «вещественный» базис.
«Вещественный» базис в 
можно построить, взяв тензорные произведения базисных векторов в более простых пространствах. Предположим, что мы имеем
и что в каждом пространстве 
определены операторы вращений и обращения времени. С каждым 
связан оператор «комплексного сопряжения» 
оператор 
для всего
пространства является тензорным произведением этих операторов
Тензорное произведение «вещественных» векторов определяет «вещественный» вектор. В частности, мы можем образовать множество «вещественных» базисных векторов в 
взяв тензорные произведения векторов, образующих «вещественный» стандартный базис момента импульса в каждом из пространств сомножителей. Исходя из этого базиса в 
мы можем образовать стандартный базис полного момента импульса в этом пространстве путем сложения моментов импульса. Поскольку все коэффициенты Клебша — Гордана вещественны, все векторы построенного таким образом стандартного базиса также «вещественны».
Мы закончим эту главу замечанием о «вещественности» сферических функций.
Пусть 
— угловые координаты вектора 
частицы, 
сферические функции, описывающие состояние момента импульса 
. В этом частном случае 
так что (уравнения Б.92) и (В.62))
Итак, сферическая функция 
«вещественна» при четном I и «чисто мнима» при нечетном I. С другой стороны, функции
образуют «вещественный» стандартный базис для орбитального момента импульса.
Пусть 
- угловые координаты импульса 
— сферическая гармоника, описывающая состояние момента импульса 
в представлении 
Можно показать (задача 10), что
где 
— оператор четности 
— оператор комплексного сопряжения в представлении 
Тогда
Следовательно, 
образуют «вещественный» стандартный
базис для орбитального момента импульса. Эти рассмотрения «вещественности» без труда можно распространить на общий случай неприводимых тензорных операторов (см. задачу 12).
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
(см. скан)
