§ 9. Сопряженное уравнение. Определение тока

Выше мы построили положительно определенную плотность вероятности (ур. (35)). Как отмечалось, эрмитовость гамильтониана Дирака гарантирует самосогласованность этого определения. Определим плотность тока и покажем, что для решений уравнения Дирака плотность тока удовлетворяет уравнению непрерывности. Вначале рассмотрим этот вопрос, используя форму Дирака, а затем повторим рассуждения с ковариантной формой.

Допустим, что выбрано некоторое представление для и а, тогда волновая функция есть матрица-столбец

Обозначим эрмитово-сопряженную к ней

Операторы в спиновом пространстве являются матрицами . Можно определить скалярное произведение, в котором суммирование происходит только по спиновым переменным. Обозначим такое скалярное произведение простыми скобками. Тогда плотность Р можно записать в виде

В качестве другого примера рассмотрим матричный элемент матрицы стоящий в строке s и столбце тогда имеем

Пусть — решение уравнения Дирака

тогда есть решение эрмитово-сопряженного уравнения, которое получается комплексным сопряжением уравнения (58) и заменой каждой матрицы в нем на транспонированную:

Умножая скалярно уравнение (58) слева на а уравнение (59) справа на и складывая, получим

Слева стоит производная по времени от плотности вероятности Р, а справа—дивергенция некоторого вектора

Полученная величина и представляет собой искомую плотность тока, а уравнение (60) есть уравнение непрерывности

Можно повторить приведенные выше рассуждения, используя ковариантную форму уравнения Дирака (ур. (50)). Эрмитово-сопряженным к уравнению (50) будет

(где символ обозначает матрицу-строку из четырех элементов Удобно ввести обозначение

Умножая уравнение (62) справа на и учитывая соотношения (53), получим уравнение

которое эквивалентно (59). Величина Ч называется сопряженной к , а уравнение (64) — сопряженным уравнением.

Умножая скалярно уравнения (50) слева на справа на и вычитая их, имеем

Определим четырехмерный вектор плотности тока

Тогда предыдущее уравнение эквивалентно уравнению непрерывности

Легко показать, что таким образом, мы записали уравнение непрерывности в ковариантной форме. В следующем разделе мы покажем, что четыре компоненты действительно образуют -вектор.